1、蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题本试卷共6页，22小题，满分150分考试时长：120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若，则（ ）A. 6B. 8C. 10D. 122. 某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83. 在等边中，点E在中线上，且，则（ ）A. B. C. D. 4. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（ ）A. 若lm，l，则mB. 若lm，l，则mC. 若l，m，则lmD. 若
2、，则lm5. 在，其内角，的对边分别为，若，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. .等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形6. 一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物理得分的分位数是（ ）A. B. C. D. 7. 伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）A. B. C. D. 8. 现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次
3、，每次取1个球事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）A. 与相互独立B. 与相互独立C. 与相互独立D. 与相互独立二、多选题，本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图.根据该图数据，这7次人口普查中（ ） A. 乡村人口数均高于城镇人口数B. 乡村人口数达到最高峰是第3次C. 城镇人口总数逐次增加D. 和前一次相比，城
4、镇人口比重增量最大的是第7次10. 下列结论正确的是（ ）A. 若复数满足，则为纯虚数B. 若复数，满足，则C. 若复数满足，则D. 若复数满足，则11. 在中，则（ ）A. 当时，B. 不可能是直角三角形C. A的最大值为D. 面积的最大值为12. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且APD1Q，则下列说法正确的有（ ）A. DP与D1Q所成角的最大值为B. 四面体ABPQ的体积不变C. AA1Q面积有最小值D. 平面D1PQ截正方体所得截面面积不变二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置
5、13. 已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_.14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则_.15. 为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为_；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为_16. 已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面
6、角的余弦值为_；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为_.三、解答题，本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 如图，在平行四边形中，点在上，且，点是的中点.（1）设，用，表示，；（2）已知，求证：.18. 如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值（注：本题要求使用几何法证明求解，使用空间向量法得分不超过一半.）19. 我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85
7、分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20. 在中，角、的对边分别为，、，且.（1）求角大小；（2）若，求边的中线长度的最小值.21. 如图1，已知ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM，如图2所示.（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为.22.
8、如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.（1）设，若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.蕉岭中学2023届高二入学测试（数学）试题 答案版本试卷共6页，22小题，满分150分考试时长：120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若，则（ ）A. 6B. 8C. 10D.
9、12答案：C2. 某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样方法从中抽取10人参加一项活动，则抽取的男生的人数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B3. 在等边中，点E在中线上，且，则（ ）A. B. C. D. 答案：A4. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是（ ）A. 若lm，l，则mB. 若lm，l，则mC. 若l，m，则lmD. 若，则lm答案：B5. 在，其内角，的对边分别为，若，则的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. .等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形答案：D6. 一次物理测验中，同学们得分的频率分布直方图如图所示，则此次测验中物
10、理得分的分位数是（ ）A. B. C. D. 答案：A7. 伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）A. B. C. D. 答案：A8. 现有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球事件“第一次取出的球的数字是3”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）A. 与相互独立B. 与相互独
11、立C. 与相互独立D. 与相互独立答案：A二、多选题，本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图.根据该图数据，这7次人口普查中（ ） A. 乡村人口数均高于城镇人口数B. 乡村人口数达到最高峰是第3次C. 城镇人口总数逐次增加D. 和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次答案：CD10. 下列结论正确的是（ ）A. 若复数满足，则为纯虚数B. 若复数，满足，则C. 若复数满足，则D. 若复数满足，则答案：CD11. 在中，则
12、（ ）A. 当时，B. 不可能是直角三角形C. A的最大值为D. 面积的最大值为答案：AD12. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱BC的中点，点Q是底面A1B1C1D1上的动点，且APD1Q，则下列说法正确的有（ ）A. DP与D1Q所成角的最大值为B. 四面体ABPQ的体积不变C. AA1Q面积有最小值D. 平面D1PQ截正方体所得截面面积不变答案：BCD二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置13. 已知向量，且，若A，B，C三点共线，则实数x的值为_.答案：314. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则_.答案：15.
13、 为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为_；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为_答案： . ； . 16. 已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面角的余弦值为_；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为_.答案： . . 三、解答题，本大题共6小题，共7
14、0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 如图，在平行四边形中，点在上，且，点是的中点.（1）设，用，表示，；（2）已知，求证：.答案：（1），；（2）证明过程见解析18. 如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱的中点（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值（注：本题要求使用几何法证明求解，使用空间向量法得分不超过一半.）答案：（1）证明见解析；（2）19. 我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成
15、绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？答案：（1）中位数为，平均数为；（2）20. 在中，角、的对边分别为，、，且.（1）求角大小；（2）若，求边的中线长度的最小值.答案：（1）；（2）.21. 如图1，已知ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM，如图2所示.（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为.答案：（1）证明见解析；（2）E为BD中点.22. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中，.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合.（1）设，若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.答案：（1）；（2）.
