1、第三节等比数列及其前n项和【知识重温】一、必记6个知识点1等比数列及其相关概念等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的_的比都等于_公比等比数列定义中的_叫做等比数列的公比，常用字母q(q0)表示公式表示an为等比数列_(nN*，q为非零常数)等比中项如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时_2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1，公比是q，则其通项公式为_(nN*)3等比数列的前n项和公式(1)当公比q1时，Sn_.(2)当公比q1时，Sn_.4项的性质(1)anamqnm.(2)amkamka(mk，m，kN*)(3)若mnpq2k(m，n，p，q，k
2、N*)，则aman_a.(4)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，|an|，a，anbn，(0)仍然是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.5和的性质(1)SmnSnqnSm.(2)若等比数列an共2k(kN*)项，则q.(3)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，_仍成等比数列，其公比为qn，当公比为1时，Sn，S2nSn，_不一定构成等比数列6等比数列an的单调性(1)满足或时，an是_数列(2)满足或时，an是_数列(3)当时，an为_数列(4)当q0，则loga
3、an(a0且a1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列若公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.2牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶：S奇q；若共有2n1项，则S奇S偶(q1且q1)，q.(2)分段求和：SnmSnqnSmqn(q为公比).变式练(着眼于举一反三)22021大同市高三学情调研测试试题已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.3一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和
4、的4倍，前3项之积为64，则a1()A11B12C13D1442021长沙模拟已知等比数列an满足，a54，记等比数列an的前n项积为Tn，则当Tn取最大值时，n()A4或5 B5或6 C6或7 D7或8第三节等比数列及其前n项和【知识重温】前一项同一个常数常数qG2abana1qn1na1apaqS3nS2nS3nS2n递增递减常【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：a1a3，a2a4q2.答案：C3解析：由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案：C4解析：S318，a36，a1a2(1q)12，故2q2q10，解得q1或q.答案：C5解析：设等差
5、数列的公差为d，由题意可得aa1a5，即(1d)21(14d)，解得d2或d0(舍去)，所以数列an的前9项和S99a1d9149281，故选C.答案：C6解析：通解设等比数列an的公比为q，则由解得所以Sn2n1，ana1qn12n1，所以221n，故选B.优解设等比数列an的公比为q，因为2，所以q2，所以221n，故选B.答案：B课堂考点突破考点一1解析：设等比数列的公比为q，由a53a34a1得a1q43a1q24a1，q24，又an0，q2，由S415，解得a11.a3a1q24，故选C.答案：C2解析：设数列an的公比为q，由已知得q22q3，解得 q3或q1，因为an0，所以q3
6、，所以an3n1，故选B.答案：B3解析：由题意可得，即，得，选B.答案：B4解析：设等比数列an的公比为q，因为a5与a4的等差中项为，所以a5a41，所以a3q2a3q1，又a31，所以2q23q20.又数列an的各项均为正数，所以q，所以a14.答案：4考点二例1解析：(1)由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn
7、)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.变式练1解析：(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2(nN*)考点三例2解析：(1)由题意可得a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2(2)24.故选A.(2)由分数的性质得到.因为a8a1a7a2a3a6a4a
8、5，所以原式，又a1a2a816(a4a5)4，an0，a4a52，2.故选A.答案：（1）A （2）A例3解析：(1)解法一设等比数列an的公比为q，所以q2，由a1a2a3a1(1qq2)a1(1222)1，解得a1，所以a6a7a8a1(q5q6q7)(252627)25(1222)32，故选D.解法二令bnanan1an2(nN*)，则bn1an1an2an3.设数列an的公比为q，则q，所以数列bn为等比数列，由题意知b11，b22，所以等比数列bn的公比q2，所以bn2n1，所以b6a6a7a82532，故选D.(2)由题意可知S4，S8S4，S12S8成等比数列，则(S8S4)2
9、S4(S12S8)，又S127S4，(S8S4)2S4(7S4S8)，可得S6SS8S40，两边都除以S，得260，解得3或2，又1q4(q为an的公比)，1，3.答案：(1)D(2)3变式练2解析：各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3a5，a7a8a9a10，则a4a5a6a5.答案：53解析：设数列an的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以q.又a1(a1q)(a1q2)64.所以aq364，故a112.答案：B4解析：解法一设数列an的公比为q，由，得q3，则q，则ana5qn527n，从而可得Tna1a2an2654(7n)22(n213n)，所以当(n213n)取最大值时，Tn取得最大值，此时n6或7，故选C.解法二设数列an的公比为q，由，得q3，则q，则ana5qn527n，令an1，则n7，又当n1，当n7时，an0，所以当n6或7时，Tn取最大值，故选C.答案：C
