1、第六节正弦定理和余弦定理【知识重温】一、必记3个知识点1正弦定理_，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abc_；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，_；(3)sin A，sin B，sin C_等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理a2_，b2_，c2_.余弦定理可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_.3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.二、必明2个易误点1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式两边一般
2、不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，若A60，a4，b4，则B45或B135.()(4)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，则实数a的取值范围是(，2)()(5)在ABC中，若acos Bbcos A，则ABC是等腰三角形()(6)在ABC中，若tan Aa2，tan Bb2，则ABC是等腰三角形()二、教材改编2必修5P10T4改编在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A
3、.B.C.D.3在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定三、易错易混4在ABC中，若A，B，BC3，则AC()A. B. C2 D45在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为()A. B. C1 D2四、走进高考62020全国卷在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B()A. B. C. D.利用正、余弦定理解三角形自主练透型考向一：用正弦定理解三角形12021北京朝阳区模拟在ABC中，B，c4，cos C，则b()A3B3C.D.22021丹东模拟在
4、ABC中，C60，AC，AB，则A()A15 B45 C75 D105考向二：用余弦定理解三角形3在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2 C3 D442018全国卷在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D252021贵阳模拟平行四边形ABCD中，AB2，AD3，AC4，则BD()A4 B. C. D.考向三：综合利用正、余弦定理解三角形62020天津卷在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2，b5，c.(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin的值悟技法(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用
5、余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二利用正弦、余弦定理边角互化互动讲练型例1(1)2021长沙市四校高三年级模拟考试设ABC的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2bacos C0，sin A3sin(AC)，则()A. B. C. D.(2)2019全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2si
6、n2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.悟技法1.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧技巧解读边化角将表达式中的边利用公式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C化为角的关系角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化和积互化a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边2.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转
7、化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.变式练(着眼于举一反三)12021湖北省部分重点中学高三起点考试在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若b2c2a2bc，则tan B的值为()A B. C3 D322021福州市高三毕业班适应性练习卷已知ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A(sin Ccos C)cos B，a2，c，则角C的大小为_考点三与三角形面积有关的问题分层深化型例2在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)
8、sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分悟技法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.同类练(着眼于触类旁通)32021江西省名校高三教学质量检测在ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B.(1)求角C的大小；(2)若bcos Cccos B4，B，求ABC的面积
9、变式练(着眼于举一反三)42021长沙市四校高三年级模拟考试ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Acsin C(bc)sin B.(1)求sin A；(2)若a2，求ABC面积的最大值拓展练(着眼于迁移应用)52019全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围第六节正弦定理和余弦定理【知识重温】2Rsin Asin Bsin Cc2Rsin Cb2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(
10、6)2解析：在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，由余弦定理得cos BAC，由A(0，)，得A，即BAC.答案：C3解析：由正弦定理得，所以sin B1，所以角B不存在，既满足条件的三角形不存在故选C项答案：C4解析：由正弦定理得：，即有AC2.答案：C5解析：由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.故选A.答案：A6解析：由cos C得，AB3，cos B，故选A.答案：A课堂考点突破考点一1解析：因为cos C，C(0，)，所以sin C .又因为B，c4，所以由正弦定理得b3.答案：B2解析：
11、在ABC中，C60，AC，AB，由正弦定理得sinB.因为ABAC，所以CB，所以B，所以B45，又C60，所以A180BC180456075.答案：C3解析：设ACx，由余弦定理得，cos 120，x243x，即x23x40.x1或4(舍去)AC1，选A.答案：A4解析： cos， cos C2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132， AB4.故选A.答案：A5解析：如图所示，在ABC中，AB2，BCAD3，AC4，由余弦定理得cosABC，所以cosDABcosABC，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcosD
12、AB322223210.所以BD.答案：B6解析：(1)在ABC中，由余弦定理及a2，b5，c，有cos C.又因为C(0，)，所以C.(2)在ABC中，由正弦定理及C，a2，c，可得sin A.(3)由ac及sin A，可得cos A，进而sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以，sinsin 2Acoscos 2Asin.考点二例1解析：(1)因为2bacos C0，所以由余弦定理得2ba0，整理得3b2c2a2.因为sin A3sin(AC)3sin B，所以由正弦定理可得a3b，由可得cb，则.故选D.(2)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bs
13、in C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.答案：(1)D(2)见解析变式练1解析：因为，所以1，即1，又b2c2a2bc，所以由余弦定理a2b2c22bccos A，可得cos A，则sin A，tan A，解得tan B3，故选C.答案：C2解析：因为cos A(sin Cco
14、s C)cos B，所以cos A(sin Ccos C)cos (AC)，所以cos Asin Csin Asin C，所以sin C(cos Asin A)0，因为C(0，)，所以sin C0，cos Asin A，则tan A1，又A(0，)，所以A，又，即，所以sin C，因为ca，所以0C，故C.答案：考点三例2解析：选(1)由余弦定理a2b2c22bccos A，b11a，c7，得a2(11a)2492(11a)7，a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.由正弦定理，得sin C，由(1)知b11a3，SABCabsin C836.选(1)cos A，A，sin A.cos
15、 B，B，sin B.由正弦定理，得，a6.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.ab11，a6，b5.SABCabsin C65.同类练3解析：(1)因为(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，所以由正弦定理得，(abc)(abc)3ab，即(ab)2c23ab，整理得a2b2c2ab，所以由余弦定理得cos C.又0C，所以C.(2)因为B，ABC，所以ABC.又bcos Cccos B4，所以由余弦定理得bc4，得a4.由正弦定理，得b4(1)，故ABC的面积Sabsin C44(1)sin4(3)变式练4解析：(1)由
16、asin Acsin C(bc)sin B得asin Acsin Bbsin Bcsin C，由正弦定理得a2bcb2c2，即b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以sin A .(2)由(1)得，a2b2c2bc2bcbcbc.因为a2，所以4bc，即bc3.所以SABCbcsin A3，当且仅当bc时等号成立所以ABC面积的最大值为.拓展练5解析：(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为 sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cossin B2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.
