1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值用导数解函数极值问题分层深化型考向一：根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)悟技法根据函数的图象，先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.考向二：求函数的极值例22020天津卷节选已知函数f(x)x36ln x，f(x)为f(x)的导函数(1)求曲线yf(x)
2、在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数g(x)f(x)f(x)的单调区间和极值考向三：已知函数极值求参数范围例32021山东部分重点中学联考已知函数f(x)x(ln x1)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围悟技法1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性注意若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.变式练(
3、着眼于举一反三)12021广州测试已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则数对(a，b)为()A(3,3) B(11,4)C(4，11) D(3,3)或(4，11)2设aR，若函数yxaln x在区间上有极值点，则a的取值范围为()A.B.C.(e，)D(，e)考点二函数的最值问题互动讲练型例42020北京卷已知函数f(x)12x2.设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值悟技法求函数f(x)在a，b上的最值的方法(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在区
4、间a，b内有极值，则要先求出函数在a，b上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值；可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.变式练(着眼于举一反三)32021惠州市高三调研考试试题已知函数f(x).(1)求f(x)的最大值；(2)设实数a0，求函数F(x)af(x)在a,2a上的最小值考点三生活中的优化问题互动讲练型例52021山东烟台调研中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5t25，tN
5、*，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20t25时，高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5t20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)(1)求P(t)的解析式；(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)P(t)40t2650t2 000(元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？悟技法变式练(着眼于举一反三)4如图，将一张16 cm10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是_cm3
6、.第2课时利用导数研究函数的极值、最值课堂考点突破考点一例1解析：由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案：D例2解析：(1)f(x)x36ln x，故f(x)3x2.可得f(1)1，f(1)9，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y19(x1)，即y9x8.(2)依题意，g(x)x33x26ln x，x(0，)从而可得g(x)3x26x，整理可得g(x).令g(x)0，解得x1.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如表：x(0,1)1(1，)g(x)0g(x)极小值所
7、以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)；g(x)的极小值为g(1)1，无极大值例3解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)axln x，令f(x)axln x0，可得a，令h(x)，则由题可知直线ya与函数h(x)的图象有两个不同的交点，h(x)，令h(x)0，得xe，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，h(x)maxh(e)，当x趋向于时，h(x)趋向于零，故实数a的取值范围为.变式练1解析：f(x)3x22axb，依题意可得即消去b可得a2a120，解得a3或a4，故或当时，f(x)3x26x33(x1)20，这时f(x)无
8、极值，不合题意，舍去，故选C.答案：C2解析：因为函数yf(x)xaln x在区间上有极值点，所以y在区间上有零点f(x)1(x0)所以ff(e)0，所以(ea1)0，解得ea0即可当t0时，S(t)，则S(t)(t24)(t212)，令S(t)0，得t2，当t变化时，S(t)与S(t)的变化情况如表：t(0,2)2(2，)S(t)0S(t)极小值S(t)minS(2)32.变式练3解析：(1)f(x)(x0)，令f(x)0得xe.当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x(e，)时，f(x)0，结合(1)得F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，F(x)
9、在a,2a上的最小值F(x)minminF(a)，F(2a)F(a)F(2a)ln aln(2a)ln，当02时，F(a)F(2a)0，F(x)minF(2a)ln(2a)综上所述，当02时，F(x)在a,2a上的最小值为ln(2a)例5解析：(1)当5t20时，不妨设P(t)1 000k(20t)2，因为P(5)100，所以解得k4.因此P(t)(2)当5t20时，Q(t)P(t)40t2650t2 000t3500t2 000，因此F(t)t2500,5t20.因为F(t)2t，当5t0，F(t)单调递增；当10t20时，F(t)0，F(t)单调递减所以F(t)maxF(10)200.当2
10、0t25时，Q(t)40t2900t2 000.因此F(t)90040，20t25.因为F(t)0，此时F(t)单调递减，所以F(t)maxF(20)0.综上，发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益最大变式练4解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(162x)cm，宽为(102x)cm的长方形，其面积为(162x)(102x)cm2，长方体纸盒的高为x cm，则体积V(162x)(102x)x4x352x2160x(0x5)，所以V12(x2)，由V0，得0x2，则函数V4x352x2160x(0x5)在(0,2)上单调递增，由V0，得2x5，则函数V4x352x2160x(0x5)在(2,5)上单调递减，所以当x2时，Vmax144(cm3)答案：144
