1、2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）一、填空题1已知复数z=，则该复数的虚部为2已知集合A=1，3，m+1，B=1，m，AB=A，则m=3已知=（3，3），=（1，1），若（+）（），则实数=4已知角的终边经过点P（x，6），且cos=，则x=5函数函数y=是偶函数，且在（0，+）上是减函数，则整数a的取值为6若命题“xR，使得x2+4x+m0”是假命题，则实数m的取值范围是7若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是8已知函数f（x）=2sin（x+）（0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为，则f（x）的单调递增区间是9已知奇函数f（
2、x）=，则g（3）的值为10曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，cR，则m+n+c的值为11已知f（x）=log4（x2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是12若点P是ABC的外心，且，C=60，则实数=13已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f（x），且对任意x（0，），都有f（x）sinxf（x）cosx，则不等式f（x）2f（）sinx的解集为14已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|+|x3a2|4a2若对任意xR，f（x）f（x+2），则实数a的取值范围为二、解答题15若ABC
3、中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值16在ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知|=4，|=2，且=9，求与的夹角17已知关于x的不等式（ax1）（x+1）0（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若aR，解这个关于x的不等式18设f（x）是偶函数，且x0时，f（x）=（1）当x0时，求f（x）的解析式（2）设函数在区间4，4上的最大值为g（a）的表达式19某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个
4、垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）则BE多长时灯带最短？20已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a（1）当a=0时，求函数y=f（x）g（x）的单调区间；（2）当aR且|a|1时，讨论函数F（x）=的极值点个数2014
5、-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1已知复数z=，则该复数的虚部为1考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解答： 解：复数z=i+1，其虚部为：1故答案为：1点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题2已知集合A=1，3，m+1，B=1，m，AB=A，则m=3考点： 并集及其运算专题： 集合分析： 由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值解答： 解：AB=A，BA，m=3或m=m+1，解得：m=3故答案为：3点评： 此
6、题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型3已知=（3，3），=（1，1），若（+）（），则实数=9考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题；平面向量及应用分析： 由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+）（），则（+）（）=0，即有22+（1）=0，代入即可得到答案解答： 解：由于=（3，3），=（1，1），则|=3，|=，=33=0，由（+）（），则（+）（）=0，即有22+（1）=0，即有182=0，解得=9故答案为：9点评： 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题4已知角的终边经过点
7、P（x，6），且cos=，则x=8考点： 任意角的三角函数的定义专题： 三角函数的求值分析： 由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值解答： 解：由题意可得cos=，求得x=8，故答案为：8点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题5函数函数y=是偶函数，且在（0，+）上是减函数，则整数a的取值为1考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质专题： 计算题分析： 由题设条件知a22a30，且为偶数，由（a+1）（a3）0，得1a3，所以，a的值为1解答： 解：根据题意，则a22a30，且为偶数，由（a+1）（a3）0，得1a3，所以，a的值为1故答案为：1点评： 本题考查函数的性质
8、的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用6若命题“xR，使得x2+4x+m0”是假命题，则实数m的取值范围是4，+）考点： 特称命题专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论解答： 解：命题“xR，使得x2+4x+m0”，命题“xR，使得x2+4x+m0”的否定是“xR，使得x2+4x+m0”命题“xR，使得x2+4x+m0”是假命题，命题“xR，使得x2+4x+m0”是真命题方程x2+4x+m=0根的判别式：=424m
9、0m4故答案为：4，+）点评： 本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题7若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值解答： 解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25最小值为x2+y2的取值范围是故答案为：点评： 本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用
10、目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键8已知函数f（x）=2sin（x+）（0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为，则f（x）的单调递增区间是+2k，+2k，kZ考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为等于半个周期，从而可求，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答： 解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为=故函数的最小正周期T=2，又0=1 故f（x）=2sin（x+），由2k+2kx+2k，kZ故答案为：
11、+2k，+2k，kZ点评： 本题主要考察了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题9已知奇函数f（x）=，则g（3）的值为7考点： 函数的值专题： 函数的性质及应用分析： 由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=1，从而g（3）=f（3）=23+1=7解答： 解：奇函数f（x）=，f（0）=1+a=0，解得a=1，g（3）=f（3）=23+1=7故答案为：7点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用10曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，cR，则m+n+c的值
12、为5考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： 求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论解答： 解：曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，n=2+1=3，函数的f（x）的导数f（x）=3x2+m，且f（1）=3+m=2，解得m=1，切点P（1，3）在曲线上，则11+c=3，解得c=3，故m+n+c=1+3+3=5，故答案为：5点评： 本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键11已知f（x）=log4（x2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2考点： 对数的运算
13、性质专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数的运算性质可得：2，再利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：f（m）+f（2n）=1，log4（m2）+log4（2n2）=1，且m2，n1化为（m2）（2n2）=4，即mn=2n+m2，m+n=n+=n1+3+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号m+n的最小值是3+2故答案为：3+2点评： 本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题12若点P是ABC的外心，且，C=60，则实数=1考点： 平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： 如图所示，利用点P是ABC的外心，C=60得出|+|+2|COSA
14、PB=2|，从而求出的值解答： 解：如图示：，+=，=2，|+|+2|COSAPB=2|，又点P是ABC的外心，C=60，|=|=|=R，APB=120，R2+R2+2RR（）=2R2，2=1，=1，故答案为：1点评： 本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题13（3分）（2014秋如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f（x），且对任意x（0，），都有f（x）sinxf（x）cosx，则不等式f（x）2f（）sinx的解集为（，）考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： 根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导
15、数即可求出不等式的解集解答： 解：由f（x）sinxf（x）cosx，则f（x）sinxf（x）cosx0，构造函数g（x）=，则g（x）=，当x（0，）时，g（x）=0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）2f（）sinx等价为式=，即g（x）g（），则x，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评： 本题主要考查不等式的 求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键14已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|+|x3a2|4a2若对任意xR，f（x）f（x+2），则实数a的取值范围为考点： 函数奇偶性的性质专题：
16、函数的性质及应用分析： 通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出解答： 解：当x0时，f（x）=|xa2|+|x3a2|4a2当0xa2时，f（x）=a2x+3a2x4a2=2x；当a2x3a2时，f（x）=xa2+3a2x4a2=2a2；当x3a2时，f（x）=xa2+x3a24a2=2x8a2画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x0时的图象，与x0时的图象关于原点对称xR，f（x+2）f（x），8a22，解得a12，12点评： 本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、解答题15若ABC中，角A，B，C所对应
17、的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值考点： 余弦定理的应用；二倍角的余弦专题： 解三角形分析： （1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可解答： 解：（1）sin（A+）=，cos（2A+）=12sin2（A+）=，则sin（2A）=sin（2A+）=cos（2A+）=；（2）cosA=，b=3c，由余
18、弦定理得：a2=b2+c22bccosA=9c2+c22c2=8c2，a2+c2=b2，即B为直角，则sinC=点评： 此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键16在ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知|=4，|=2，且=9，求与的夹角考点： 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义专题： 平面向量及应用分析： （1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值（2）由条件利用向量数量积的定义求得cos的值，可得与的夹角的值解答： 解：（1）=
19、3，由题意可得 =+=+=+（）=+，再根据=x+y，x=，y=（2）已知|=4，|=2，且=9=42cos （为与的夹角），cos=， 可得=60，即求与的夹角为60点评： 本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题17已知关于x的不等式（ax1）（x+1）0（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若aR，解这个关于x的不等式考点： 一元二次不等式的解法专题： 分类讨论；不等式的解法及应用分析： （1）根据不等式（ax1）（x+1）0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来解答： 解：
20、（1）不等式（ax1）（x+1）0的解集为，方程（ax1）（x+1）=0的两根是1，；a1=0，a=2；（2）（ax1）（x+1）0，a0时，不等式可化为（x）（x+1）0；若a1，则1，解得1x；若a=1，则=1，解得不等式为；若1a0，则1，解得x1；a=0时，不等式为（x+1）0，解得x1；当a0时，不等式为（x）（x+1）0，1，解不等式得x1或x；综上，a1时，不等式的解集为x|1x；a=1时，不等式的解集为；1a0时，不等式的解集为x|x1；a=0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x1，或x点评： 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类
21、讨论思想，是中档题18设f（x）是偶函数，且x0时，f（x）=（1）当x0时，求f（x）的解析式（2）设函数在区间4，4上的最大值为g（a）的表达式考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： （1）设3x0、x3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间4，4上的最大值即为它在区间0，4上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答： 解：（1）令x0，则x0，f（x）=，f（x）=f（x），f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间4，4上的最大值即为它在区间0，4上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a2时，f（x）在0，1和2，
22、4上单调递增，在1，2上单调递减，如图所示故x0，2上的最大值为f（1）=1，在（2，4上的最大值为f（4）=82a，当f（4）f（1）时，即82a1时，解得a，函数的最大值为f（4），当a2时，f（x）在0，1和，4上单调递增，在1，上单调递减，如图所示故x0，2上的最大值为f（1）=1，在（2，4上的最大值为f（4）=82a，当f（4）f（1）时，即82a1时，解得2a，函数的最大值为f（4），当f（4）f（1）时，即82a1时，解得a，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评： 本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题19某公司为了公司周年庆典，
23、现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）则BE多长时灯带最短？考点： 解三角形的实际应用专题： 综合题；导数的综合应用分析： （1）过C作CMAB于点M，
24、在CFD中和CME中，分别用表示出CF和CE，即可列出l与的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案解答： 解：（1）设EFD=，EF=l，过C作CMAB于点M，在CFD中，CF=，在CME中，CE=，l=+，（0，其中是锐角且tan=8l=+=0，可得tan=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在CFD中，CF=，FD=，在CME中，CE=，EM=8tan灯带长L=+8tan+16，（0，其中是锐角且tan=8L=0，可得tan=1此时BE=16米时，钢丝绳最短点评： 本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数
25、学的相关知识求解函数的最值本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法属于中档题20已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a（1）当a=0时，求函数y=f（x）g（x）的单调区间；（2）当aR且|a|1时，讨论函数F（x）=的极值点个数考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题： 计算题；导数的综合应用分析： （1）当a=0时，y=f（x）g（x）=xlnx的定义域为（0，+），求导y=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）=（x0且x1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；
26、由（1）可得|a|1，故不成立，故当|a|1时，函数F（x）无极值点解答： 解：（1）当a=0时，y=f（x）g（x）=xlnx的定义域为（0，+），y=lnx+x=lnx+1，又当x=时，y=0，则函数y=f（x）g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）F（x）=（x0且x1），则令F（x）=0，即，即（x+a）ln（x+a）xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；故在（0，）上，y0，在（，1）上，y0，在（1，+）上，y0，故|x+ax|=|a|1，则方程也解，即不存在x，使F（x）=0成立；即，当|a|1时，函数F（x）无极值点点评： 本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题
