1、山东省菏泽市成武一中2020届高三数学第二次模拟试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.【详解】由得，由得，故，故选：B.【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.2. 已知是虚数单位，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
2、必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.【详解】当时，故“”是“”的必要条件.反之，若，则，因此，解得或，故“”是“”的不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法和必要不充分条件的判断，后者应该根据两者的推出关系来判断两者之间的条件关系，本题属于基础题.3. 设，且，则（ ）A. B. 10C. 20D. 100【答案】A【解析】【分析】先根据，得到，再由求解.【详解】因为，所以，所以，又，故选：A【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.4. 等差数列的公差不为0.若，成等比数
3、列，且，则前6项的和为（ ）A. -24B. -3C. 3D. 8【答案】A【解析】【分析】根据等比中项可得，根据等差数列的通项公式可得，代入等差数列的前项和公式可的结果.【详解】设的公差为，因为，成等比数列，所以，得，化简得，因为，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了等比中项的应用，考查了等差数列通项公式基本量的计算，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题.5. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用三角函数的图像平移得到新的解析式，结合函数为偶函数即可求得的最小正
4、值.【详解】，将函数的图象向右平移个单位得，由该函数为偶函数可知: ，即，当时， ，所以的最小正值是为.故选：【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，三角函数的图象平移，三角函数奇偶性，是中档题.6. 为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（）A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数【答案】D【解析】【详解】表示不超过的最大整数,则,所以,即是周期为1的周期函数.故选：D7. 在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上
5、靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用8. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.二、多项选择
6、题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论错误的是（ ）A. ，B. 是的极小值点C. 是的极小值点D. 是的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.【详解】A. ，错误.是的极大值点，并不是最大值点；B. 是的极小值点，错误.相当于关于轴的对称图象，故应是的极大值点；C. 是的极小值点，错误.相当于关于轴的对称图象，故应是的极小值点，跟没有关系；D. 是的极小值点.正确.相当于先关于轴的对称，再关
7、于轴的对称图象.故D正确.故选：ABC.【点睛】本题考查极值的性质、图象变换，注意极值是函数的局部性质，不是整体性质，另外注意函数解析式的不同形式蕴含的图象变换，本题属于中档题.10. ，是两个平面，是两条直线，有下列四个命题中其中正确的命题有（ ）A. 如果，那么.B. 如果，那么.C. 如果，那么.D. 如果，那么与所成的角和与所成的角相等.【答案】BCD【解析】【分析】对于命题A，运用长方体举反例证明其错误：对于命题B，作辅助平面，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的定义知命题C正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题D正确.【详解】对于命题A，可
8、运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设为直线，为直线，所在的平面为.所在平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立.命题B正确，证明如下：如图：设过直线的平面与平面相交于直线，则，由，有，从而可知结论正确.由平面与平面平行的定义知命题C正确.由平行的传递性及线面角的定义知命题D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，属于基础题.11. 设，是双曲线：左、右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则下列说法正确的是（ ）A. B. 双曲线的离心率为C. 双曲线的渐近线方程为D. 点在直线上【答案】ABCD【解析】【分析】根
9、据题设条件得到的关系后再逐项判断正误，从而可得正确的选项.【详解】设，而渐近线的方程为，所以，故A正确.又，在直角三角形中，在三角形中，由余弦定理有，故，所以双曲线的渐近线方程为，故C正确.所以双曲线的离心率为，故B正确.不妨设在直线上，则，由 解得，故D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，此类问题，一般要先弄清楚的关系，注意焦点到准线的距离为（虚半轴的长），这是一个常见的结论，需熟记，本题属于中档题.12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A. 是周期函数B. 在区间上是增函数C. 若，则D. 函数在区间上有且仅有1个零点【答案】AC【解析】【分析】利用三角函数的图象性质
10、和三角恒等变换，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 显然是函数的周期，所以是周期函数是正确的；B. 由题得所以函数在区间上是增函数是错误的；C. 由题得，因为，所以只能有，所以，所以选项C是正确的.D.对分类讨论，当时，显然无解；当时，；当时，.所以选项D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 山西省高考将实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假设他们对六科没有偏好，则他们选
11、科至少两科相同的概率为_.【答案】【解析】【分析】由题意得，基本事件总数，他们选科至少两科相同包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率计算公式即可求出概率【详解】解：山西省高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理，化学，生物，历史，政治，地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，包含的基本事件总数，他们选科至少两科相同包含的基本事件个数，他们选科至少两科相同的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题14. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中，若，则_.【答案】21【解析】【分析】求出曲线在出的切线方程，从而得到，据此可求的值.【详解
12、】，在点处的切线方程为：，当时，解得，所以，.故答案为：21.【点睛】本题考查曲线在某点处的切线、等比数列的和，前者可利用导数求出切线方程，本题属于基础题.15. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】【详解】分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为16. 设函数若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则实数的取
13、值范围是 【答案】(1)-1，(2)或.【解析】【详解】时，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1；（2）若函数在时与轴有一个交点，则， ，则，函数与轴有一个交点，所以；若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明
14、、证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据与两式相减可得结果；（2）求出，根据裂项求和可得结果.【详解】（1）当时，当时-得，经检验不符合上式，.（2）由（1）得当时，当时，.【点睛】本题考查了根据递推公式求通项公式，考查了裂项求和方法，属于中档题.18. 在;这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知 ，.(1)求;(2)如图，为边上一点，求的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）结合正弦定理，条件选择，则，再利用公式求；若选
15、择条件，由正弦定理和诱导公式可得，再根据二倍角公式求得，再根据求解.（2）解法1:设，在中由余弦定理，解得，再由（1），解得边长，最后求得到的面积；解法2：由 可知，再根据正弦定理和面积公式 .【详解】解:若选择条件，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择【点睛】本题考查正余弦定理，面积公式解三角形，意在考查转化与化归的思想，和计算能力
16、，属于中档题型，本题属于开放性试题，需先选择条件，再求解.19. 如图，在多面体中，且点在平面内的正投影为的中点，.（1）证明：面面；（2）求与面所夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形可得，根据平面，可得平面，根据平面与平面垂直的判定定理可得面面；（2）平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.【详解】（1）取的中点，连接，.，分别为，的中点，且.又，且，四边形为平行四边形.，又点在平面内的正投影为的中点，平面，平面，面，面面.（2）平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平
17、面的法向量，则，所以，取，则，设与面所夹角为，与面夹角的正弦值为.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用向量法求直线与平面所成的角，属于中档题.20. 如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆的方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，结合向量相等
18、的坐标表示，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线的方程的设法的不同.【详解】（1）因为圆的方程为，所以，半径因为是线段的垂直平分线，所以所以因为，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆因为，所以曲线的方程为（2）存在直线使得方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，所以直线的斜率存在，设直线的方程为设，由 得则， ， 由题意知，解得因为，所以，即 把代入得， 把代入得，得，满足所以直线的方程为：或方法二：因为当直线的斜率为0时，此时因此设直线的方程为：设，由 得由题意知，解得或，则， ， 因为，所以 把代入得， 把代入得，满足或所以直线的方程为或【点睛】本小题主要考
19、查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21. 某市积极贯彻落实国务院“十三五”节能减排综合工作方案，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高
20、于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动天数为X，求X的分布列和数学期望；以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.【答案】（1）28天；（2）分布列见解析，；.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的
21、天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；甲不适宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，然后求解概率即可.【详解】解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在的天数为2天，所以估计空气质量指数在的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，X的分布列为X012P.甲不宜进行户外体育运动的概率为，乙不宜进行户外体育运动的概率为，.【点睛】此题考查离散型随机变量的分布列及期望的求法，频率分布表的应用，属于中档题.22. 已知函数.(1)若在时取到极值,求值及的图象在处的切
22、线方程;(2)若在时恒成立,求的取值范围.【答案】(1) (2).【解析】试题分析：（1）对求导，由在时取到极值，可求得的值，再根据导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）由定义域可得，再对进行分类讨论，分别求出不同情况时的单调性及最小值，即可求出的取值范围.试题解析：(1),在时取到极值,解得故在处的切线方程为:(2)由定义域知:对于恒成立,可得当时,在上,恒成立,所以此时在递减注意到,故此时不恒成立当时,在区间上,恒成立,所以此时在递增,故此时恒成立当时,的单调减区间为,单调增区间为在处取得最小值,只需恒成立设设,在递减,又所以即,解得综上可知,若恒成立,只需的取值范围是.点睛：本题主要考查了函数性质综合应用问题，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及不等关系的证明，同时着重考查了分类讨论思想的应用，合理构造新函数，正确利用导数研究函数的性质是解答的关键
