1、高三数学选填专题练习（28）提高训练（8）难度评估：偏难 测试时间：40 分钟 一、单选题(共 60 分)1(本题 5 分)已知集合Ak N|10kN，|2Bx xn或3,xn nN，则 AB A6,9B3,6,9C1,6,9,10D6,9,102(本题 5 分)已知复数izxy（x，yR），且23z，则1yx 的最大值为（）A 3B6C26D263(本题 5 分)在边长为 1 的等边 ABC 所在平面内，有一点 满足20PA PBPC，则PA PB（）A16B 316C 16D3164(本题 5 分)在锐角 ABC中，角 A，B，C 对应的边分别是 a、b、c，向量(sin,tan)aCA，
2、(tan,sin)bAA，且coscosa bAC，则 cba的取值范围是 A(2 1,21)B(12,23)C(12,13)D(2,3)5(本题 5 分)若等比数列na的前n 项和为nS，3620aa，则63SS A 1B1C 2D26(本题 5 分)多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面1AEC F 所截得到的，建立下图的空间直角坐标系，已知(0,0,0)D、(2,4,0)B、(2,0,0)A、(0,4,0)C、(2,4,1)E、1(0,4,3)C.若1AEC F为平行四边形，则点C 到平面1AEC F 的距离为 A 4 1133B4 33C 4 3333D 4 33117(本题 5 分
3、)研究药物、毒物、及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间的定量规律的学科分支称为药物动力学，为了揭示药物在机体内的动力学规律，通常从给药后的一系列时间采取血样，测定血药浓度，然后对所得到的数据作理论分析，已知在恒速静脉滴注停止后的血药浓度 c（t）随着时间t（单位：h）的变化可以用指数模型 0httCce描述，假定某药物的消除速率常数0.15k（单位：1h），初始血药浓度067.5Cmg/L，则该药物在机体内的血药浓度变为22.5mg/L需要的时间约为（ln31.1）（）A2.7hB4.6hC7.3hD10.1h8(本题 5 分)算盘是中国传统的计算工具，其
4、形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为（）A 38B 34C 23D 129(本题 5 分)疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，PQ为地路面，AB 为消毒设备的高，BC 为喷杆，ABPQ，23ABC，C 处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角3DCE，已知2AB，1BC 则消毒水喷洒在路面上
5、的宽度 DE 的最小值为（）A5 25B5 2C 5 33D5 310(本题 5 分)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过2F 作C 的渐近线的垂线，垂足为点1,5P PFa，则C 的离心率为 A 5B2C 3D211(本题 5 分)若函数51()ln12f xxaxax 在(1,2)上为增函数，则a 的取值范围为 A1(,0),24B1(,0),12C1 1,0)(0,4D1 1,0),1212(本题 5 分)已知点 A 在曲线2:(0)P yxx上，A 过原点O，且与 y 轴的另一个交点为 M，若线段OM，A 和曲线 P 上分别存在点 B、点C
6、和点 D，使得四边形 ABCD（点A，B，C，D 顺时针排列）是正方形，则称点 A 为曲线 P 的“完美点”那么下列结论中正确的是（）A曲线 P 上不存在”完美点”B曲线 P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1 C曲线 P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 12 且小于1 D曲线 P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 12二、填空题(共 20 分)13(本题 5 分)如图，在直角梯形 ABCD中，/ADBC，ADCD，ABD是边长为 2 的正三角形，P 是平面 ABCD内的动点，32CP，设,RAPADAB，则的取值范围是_.14(本题 5 分)空间四边形 ABCD 的对棱 AD，
7、BC 成 60的角，且 ADa，BCb，平行于AD 与 BC 的截面分别交 AB，AC，CD，BD 于 E、F、G、H，则截面 EFGH 面积的最大值为_.15(本题 5 分)已知直线 1:lyx，斜率为 01qq的直线 2l 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点0 0,Ba，过0B 作 x 轴的平行线，交 1l 于点1A，过1A 作 y 轴的平行线，交 2l 于点1B，再过1B 作 x 轴的平行线交 1l 于点2A，这样依次得线段01B A、11A B、12B A、22A B、1nnBA、nnA B，记nx 为点nB 的横坐标，则limnnx _ 16(本题 5 分)一湖中有不在同一直线的
8、三个小岛 A、B、C，前期为开发旅游资源在 A、B、C 三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知 AB 两岛之间距离为 3 公里，BC 两岛之间距离为 5 公里，AC 两岛之间距离为 7 公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛 A、B、C 且位于 AC（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在 AC 上选择一个点 D 建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得ADC 面积最大即可.则当ADC 面积最大时建立索道AD 的长为_公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）参考答案1D【详解】因为1,6,9,10,0,2
9、,3,4,6,8,9,10,AB，所以6,9,10AB，故选：D2C【分析】根据模长公式，求出复数 z 对应点的轨迹为圆，1yx表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.【详解】复数izxy（x，yR），且23z，2223xy，2223xy.设圆的切线 l：1ykx，则22131kk，化为2420kk，解得26k，1yx的最大值为26.故选：C.3D【分析】先利用平面向量基本定理把 PA PB、用CB AB、表示出来，在进行数量积的运算.【详解】取 BC 中点为 D，连结 AD20PA PBPC，220PAPD，即0PAPD，故 P 为 AD
10、 的中点.11 111=22 242PAPD DPDBBACBBACBBA，1 1112 242PBPAABCBBAABCBAB，2211111111=?424216488PA PBCBBACBABCBBACB BACB AB 2211=164CBBA11=164=316故选：D.4B【详解】coscos,(coscos)cossin(sinsin),a bACACAAAC22cossincos cossinsin,cos2cos()cos,2,AAACACAACBBA 因为 ABC 是锐角三角形，所以0,02,3,222664CBABAAAA 由正弦定理，可得：22sinsinsin(3)s
11、in 2sin3sin 2sinsinsinsin 2 coscos2 sin2sincossin2coscos22cos4cos2cos1,cbCBAAAAaAAAAAAAAAAAAAAA223,cos,124cos2cos123.6422AAAA 故选：B.5A【分析】由363aa q，代入3620aa，可以求出32q ，然后利用等比数列的前n 项和公式，可以得到663311SqSq，进而可以求出答案【详解】设等比数列 na的公比为q，则33363332220aaaa qaq（），因为30a，所以320q，故32q ，则6166333111141111211aqSqqSqaqq.故选：A.
12、6D【分析】利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面1AEC F 的法向量，结合3,0,01 CC，利用空间向量夹角余弦公式求出1CC 与所求法向量的夹角余弦，进而可得结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则10,0,0,2,4,0,2,0,0,0,4,0,2,4,1,0,4,3DBACEC，设0,0,Fz，1AEC F 为平行四边形，由1AFEC得，2,0,2,0,2z，2z，0,0,2,2,0,2,0,4,1FAFAE，设 n 为平面1AEC F 的法向量，显然n 不垂直于平面 ADF，故可设,1nx y，0410020200 xyn AExyn AF ，即410220yx，114xy
13、，所以11,14n，又3,0,01 CC，设1CC 与n 的夹角为，则1134 33cos3313 1116CC nCCn，C到平面1AEC F 的距离为 14 334 33cos33311dCC，故选:D.7C【分析】先设该药物在机体内的血药浓度变为22.5mg/L 需要的时间为 1t，由题意给出的模型解出10.1513te，再解出 1t 【详解】由题意可得 0.1567.5tec t，设该药物在机体内的血药浓度变为22.5mg/L 需要的时间为 1t，10.15167.522.5tc te，则10.1513te，所以10.15ln3t，1ln31.17.30.150.15th.故选：C.8
14、B【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有124424C C 种可能要使所拨数字大于 200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于 200，有122412C C 种；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有11236C C 种，则所拨数字大于 200 的概率为1263244，故选：B9C【分析】由题知，CDE底边 DE 上的高52h，又11sin223CDESDE hCD CEV得到53DECD CE，根据余弦定理
15、和均值不等式得到2DECD CE，计算得到答案.【详解】设CDE中，定点C 到底边 DE 的距离为 h，则252 1 sin,322h 又11sin223CDESDE hCD CEV，即53DECD CE，利用余弦定理：222222cos 3DECDCECD CECDCECD CE 2CD CECD CECD CE，当且仅当CDCE时，等号成立，故2DECD CE，而53DECD CE，25 33DEDE 则5 33DE，DE 的最小值为 5 33.故选：C.10D【分析】利用点到直线的距离公式求出2PF，利用勾股定理求出 OP，由锐角三角函数得出 2cosaPOFc，由诱导公式得出1cosa
16、POFc，在1POF利用余弦定理可得出 a、b、c的齐次方程，可解出双曲线C 离心率e的值【详解】如下图所示，双曲线C 的右焦点2,0F c，渐近线 1l 的方程为0bxay，由点到直线的距离公式可得222bcbcPFbcba，由勾股定理得222222OPOFPFcba，在2Rt POF中，22OPF，22cosOPaPOFOFc，在2POF中，OPa，15PFa，1OFc，122coscoscosaPOFPOFPOFc ，由余弦定理得2222211114cos22OPOFPFcaaPOFOP OFacc，化简得，222ca，即2ca，因此，双曲线C 的离心率为2cea，故选:D 11B【分析
17、】依题意可得 25102fxaxax对x 1,2恒成立，即a25102xxa对x 1,2恒成立，转化为二次函数在区间1,2 上恒成立的问题，结合二次函数图像分类讨论得到 a 的范围.【详解】依题意可得 25102fxaxax对 x 1,2恒成立，即 a25102xxa对 x 1,2恒成立.设 g(x)=a2512xxa，x 1,2.当 a0 时，5110212450gaagaa 解得 112a .当 a0 时，g(0)=10a，-522a=504a，gx0 对x 1,2恒成立.综上，a 的取值范围为1,0,12.故选：B.12B【详解】如图1，如果点 A 为“完美点”则有2222ABADACO
18、A，以 A 为圆心，22 OA 为半径作圆（如图2 中虚线圆）交 y 轴于 B，B（可重合），交抛物线于点 D，D 当且仅当 ABAD时，在圆 A 上总存在点C，使得 AC 为BAD的角平分线，即45BACDAC，利用余弦定理可求得此时22BCCDOA，即四边形 ABCD是正方形，即点 A 为“完美点”，如图，结合图象可知，点 B 一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在 D 使得 ABAD，D 也一定是上方的点，否则，A，B，C，D 不是顺时针，再考虑当点 A 横坐标越来越大时，BAD的变化情况：设2(,)A m m，当1m 时，45AOy，此时圆与 y 轴相离，此时点 A 不是“完美点”，故
19、只需要考虑m1，当 m 增加时，BAD越来越小，且趋近于0，而当1m 时，90BAD；故曲线 P 上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于1故选：B 131,2【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用32CP，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式求出的关系式，最后求出函数关系式的取值范围即可.【详解】根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形 ABCD中，CBCD，/ADBC，ABD是边长为 2 的正三角形，解得：1BC ，3CD，2ABBDAD，所以 2,0A，1,3B，0,3C，0,0D，则2,0AD，1,3AB，由32CP，可得点 P 在以C 为圆心，32为半径的圆上运
20、动，该圆方程为223(3)4xy，设33cos,sin322P，则33cos2,sin322AP，由于(,)APADABR，则：33cos2,sin3(2,0)(1,3)22，整理得：3 cos2223 sin332，所以311cossin4421 sin12，所以13313sincossin442232，因为 1sin13，所以131sin2232，所以的取值范围是1,2.故答案为：1,2.1438ab.【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形 EFGH 为平行四边形,然后根据题意60EFG或120,设:AE ABx,根据相似三角形的相似比把,EF FG 用,a b x 表示,利用三角形的面
21、积公式把平行四边形 EFGH 的面积表示成关于 x 的二次函数,转化为二次函数求最值的问题求解即可.【详解】因为/AD平面 EFGH，AD 平面 ADC,平面 EFGH平面 ADCFG,由线面平行的性质定理知,/ADFG,同理可证,/EHAD,所以/FGEH,同理可证/EFHG,所以四边形 EFGH 为平行四边形.因为 AD，BC 成 60的角,所以60EFG或120,设:AE ABx,则 EFAExBCABAFAC，因为 BCb,所以 EFbx,因为1FGCFxADAC,ADa,所以1FGx a,所以平行四边形 EFGH 的面积为 33sin601122abSEFFGbxx axx,即231
22、1224abSx,所以当12x 时,平行四边形 EFGH 的面积有最大值为38ab，故答案为:38ab.151aq【分析】先由题设条件得出点123,B B B 的坐标，根据它们之间的关系求出点nB 的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出limnnx.【详解】解：斜率为 01qq的直线 2l 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点0 0,Ba，直线 1:lyx，A1（a，a）.A1B0 x 轴，B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）.B1A2x 轴，B2（aq+a，aq2+aq+a）.同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a），B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a
23、），Bn（aqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a，aqn+aqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a），xn为点 Bn的横坐标，xnaqn1+aqn2+aqn3+aq2+aq+a.故 xn是首项为 a，公比为 q（0q1）的等比数列的前 n 项的和，由数列极限的运算性质得：lim1nnaxq.故答案为：1aq.16 7 33【分析】根据题意画出草图，根据余弦定理求出ABC的值，设点 D 到 AC 的距离为d，可得12ACDSAC d，分析可知 d 取最大时，ACDS取最大值，然后再对 E 为 AC 中点和 E 不是AC 中点两种情况分析，可得 d 的最大值为1rd，然后再根据圆的有
24、关性质和正弦定理，即可求出结果【详解】根据题意可作出 ABC及其外接圆O，连接OD，交 AC 于点 E，连接,AD CD，如下图：在 ABC中，由余弦定理 222925491cos2302ABBCACABCAB BC,由ABC为 ABC的内角，可知0,ABC，所以23ABC.设O 的半径为 r，点O 到 AC 的距离为1d，点 D 到 AC 的距离为d，则12ACDSAC d,故 d 取最大时，ACDS取最大值.当 E 为 AC 中点时，由垂径定理知OEAC，即ODAC，此时1,OEd DEd，故1dDEODOErd；当 E 不是 AC 中点时，OE 不与 AC 垂直，设此时OD 与 AC 所成角为，则2，故sin1 ；由垂线段最短知1OEd，此时11sin=sinsindDEODOErdrd;综上，当 E 为 AC 中点时，D 到 AC 的距离 d 最大，最大值为1rd；由圆周角定理可知，23ADCABC,由垂径定理知，此时点 D 为优弧 AC 的中点，故 ADCD，则1=26DACDCAADC，在 ADC中，由正弦定理得 sinsinADACDCAADC 所以7 sinsin7 36=2sin3sin 3ACDCAADADC.所以当ADC 面积最大时建立索道 AD 的长为 7 33公里.故答案为：7 33
