1、山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二数学12月月考试题 理 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 已知命题，那么是( ) A.，B.，C.，D.，2. 已知和表示两个不重合的平面，和表示两条不重合的直线，则平面平面的一个充分条件是（） A.，且B.且C.，且D.且3. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 A.B.C.D.4. 如图圆锥的高 ，底面直径 ，是圆上一点，且 ，则 与所成角的余弦值为（） A.B.C.D.5. 集合，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是( ) A.B.C.D.6.
2、 在长方体中，则直线与平面所成角的正弦值为( ) A.B.C.D.7. 下列说法正确的是（） A.命题“若，则的否命题为“若，则”B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“”D.命题“若，则的逆否命题为真命题8. 已知抛物线，直线过点与抛物线交于，两点，且，则直线倾斜角的正弦值为（） A.B.C.D.9. 已知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（） A.B.C.D.10. 已知双曲线：，的右焦点为，点是虚轴上的一个端点，线段与双曲线的右支交于点，若，且，则双曲线的方程为( ) A.B.C.D.11. 点，分别是棱长为的正方体 中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内
3、运动若面，则的长度的最大值是（） A.B.C.D.12. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为若，则该双曲线离心率的取值范围为( ) A.B.C.D. 二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） 13. 已知，若为假命题，则实数的取值范围是_. 14. 已知直线与抛物线交于，两点，抛物线的焦点为，则的值为_. 15. 已知四棱柱的底面是矩形，则_. 16. 已知双曲线上有三个点，且，的中点分别为，用字母表示斜率，若（点为坐标原点，且，均不为零），则_. 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）
4、 17.(10分)已知：关于方程有两个不相等的实根；：方程表示焦点在轴上的椭圆 若为真命题，求实数的取值范围；如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围18.(12分) 已知命题：实数满足，其中，命题：实数满足 若，且命题和命题均为真命题，求实数的范围； 若是的必要不充分条件，求的范围19.(12分) 如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. 证明：； 若与平面所成角的大小为，求点到平面的距离20.(12分) 如图，在四棱柱中，底面是以，为底边的等腰梯形，且，. 证明：；若，求二面角的正弦值21.(12分) 已知椭圆：的离心率，并且经过定点. 求曲线的方程；直线：交椭圆于不同的，
5、两点，是坐标原点，求面积的最大值22.(12分) 已知圆：，动圆与圆相外切，且与直线相切 求动圆圆心的轨迹的方程；已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点，（与点不重合），直线，的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由参考答案与试题解析景胜中学2020年12月高二月考数学理试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】C【解答】解：特称命题的否定是全称命题.已知命题，那么是：，.故选2.【答案】D【解答】解：，选项中平面和平面均有可能相交；中由可得，又，所以故选3.【答案】C【解答】解：设椭圆的方程为：，直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点
6、，则直线方程为：，椭圆中心到的距离为其短轴长的，可得：， ， ， ， 故选4.【答案】A【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系得：，设，的夹角为，又，则，即与所成角的余弦值为.故选5.【答案】B【解答】解：，与集合相等，“”是“”的充分必要条件.故选项错误.，包含于，“”是“”的充分不必要条件.故选项正确.，不包含，也不包含，“”既不是“”的充分条件，也不是必要条件.故选项错误.，不包含，也不包含，“”既不是“”的充分条件，也不是必要条件.故选项错误.故选.6.【答案】D【解答】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的直角坐标系，则，.易知为平面的一个法向量， ， 直线和平面
7、所成角的正弦值为.故选.7.【答案】D【解答】解：中，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故不正确；中，由，解得或，所以“是“”的充分不必要条件，故不正确；中，“的否定是“，故不正确；中，命题“若，则”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确.故选8.【答案】D【解答】解：由题意可知，直线的斜率存在当直线的斜率为零时，由于为抛物线的焦点，故应有，所以直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为（），由 消去得，所以，所以，所以，所以，所以故选9.【答案】B【解答】解：先讨论当点在椭圆上时，最大时，点的位置,当且仅当时取得等号，即当点在椭圆的短轴的端点上时，最小，此时最大要使得椭圆上存在点满足，则只需
8、最大时的值大于等于如图设椭圆的一个短轴的端点为，即只需当椭圆的焦点在轴上时，,由题意可得解得，；当椭圆的焦点在轴上时，由题意可得解得，故选10.【答案】D【解答】解：设，因为右焦点为，点，线段与双曲线的右支交于点，所以，代入双曲线方程，可得，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为故选.11.【答案】D【解答】解：取，中点，连接，则，.又因为，所以平面平面又因为动点在正方形（包括边界）内运动，所以点的轨迹为线段又因为正方体的棱长为，所以，所以为等腰三角形，故当点在点或者在点处时，此时最大，最大值为故选12.【答案】B【解答】解：如图，是双曲线的左、右焦点，延长交于点因为是的角平分线，所以因为
9、点在双曲线上，所以，.因为是的中点，是的中点，是的中位线，所以，所以.在中，由余弦定理，得，当的横坐标趋近于时，直线的斜率趋近，故，解得.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】【解答】解：由为假命题可知，为真命题，则，解得.故答案为：.14.【答案】【解答】解：联立与得，设，由已知，则，则故答案为：.15.【答案】【解答】解： ， ， 故答案为：.16.【答案】【解答】解：设，则，,两式相减得，整理可得，即，同理得，.因为，所以.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：由题可知，所以实数的取值范围为
10、.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，当为真，为假时，解得；当为假，为真时，解得.综上，实数的取值范围为：.【解答】解：由题可知，所以实数的取值范围为.命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，当为真，为假时，解得；当为假，为真时，解得.综上，实数的取值范围为：.18.【答案】解：当时，由得，即，由解得即，即. 命题和命题均为真命题，即满足即. 是的必要不充分条件， 是的充分不必要条件，由知，由知， ， 即即，即实数的取值范围是.【解答】解：当时，由得，即，由解得即，即. 命题和命题均为真命题，即满足即. 是的必要不充分条件， 是的充分不必要条件，由知，由知， ， 即即，即实数的取值范围是.19
11、.【答案】证明：因为，所以.因为平面平面，交线为，所以平面，于是.在等腰直角三角形中，所以.又因为，所以平面，所以.解：由知平面，所以与平面所成的角即.结合已知可得，可得是以为斜边的直角三角形设点到平面的距离为，则.又因为，所以，.【解答】证明：因为，所以.因为平面平面，交线为，所以平面，于是.在等腰直角三角形中，所以.又因为，所以平面，所以.解：由知平面，所以与平面所成的角即.结合已知可得，可得是以为斜边的直角三角形设点到平面的距离为，则.又因为，所以，.20.【答案】证明：在中，由余弦定理，得，则，即.因为，故平面.又因为平面，所以 解：取的中点，由于，所以.由可知平面平面，故平面.由等腰
12、梯形，得，则，以为原点，分别以，的方向为，的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则解得令，则，则又因为是平面的一个法向量，所以,所以二面角的正弦值为.【解答】证明：在中，由余弦定理，得，则，即.因为，故平面.又因为平面，所以解：取的中点，由于，所以.由可知平面平面，故平面.由等腰梯形，得，则，以为原点，分别以，的方向为，的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则解得令，则，则又因为是平面的一个法向量，所以,所以二面角的正弦值为.21.【答案】解：由题意：且，又，解得， 曲线的方程为.设，联立消去并整理，得， ，即， ， .又原点到直线的距离，
13、.令，则， ，当且仅当，即时，所以当，即时，的面积最大，最大为.【解答】解：由题意：且，又，解得， 曲线的方程为.设，联立消去并整理，得， ，即， ， .又原点到直线的距离， .令，则， ，当且仅当，即时，所以当，即时，的面积最大，最大为.22.【答案】解：设到直线的距离为. ， 到直线的距离等于到的距离.由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线， 轨迹的方程为.设直线的方程为，即. ，与点不重合， .设直线，的斜率分别为和，点，联立消去，得，则，由，解得或，且.因为，同理可得，所以，所以直线，的斜率之和为定值【解答】解：设到直线的距离为. ， 到直线的距离等于到的距离.由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线， 轨迹的方程为.设直线的方程为，即. ，与点不重合， .设直线，的斜率分别为和，点，联立消去，得，则，由，解得或，且.因为，同理可得，所以，所以直线，的斜率之和为定值
