1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 三十四数列的综合应用30分钟60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知等差数列an的公差为5,前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,则S6=()A.80B.85C.90D.95【解析】选C.等差数列an的公差为5,且a1,a2,a5成等比数列,可得=a5a1,(a1+5)2=a1(a1+20),解得a1=,前6项和为S6=6+5=90.2.等比数列an的首项为3,公比不等于1.若a4,a3,a5成等差数列,则数列an前5项的和为()A.-31
2、B.33C.45D.93【解析】选B.设等比数列an的公比为q,由a4,a3,a5成等差数列,得2a3=a4+a5,即2a3=qa3+q2a3,所以q2+q-2=0,解得q=-2(q=1舍去).所以数列an的前5项的和S5=33.3.已知公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则=()A.B.C.D.【解析】选C.公比q不为1的等比数列an的前n项和为Sn,a2,2a5,3a8成等差数列,可得4a5=a2+3a8,即为4a1q4=a1q+3a1q7,即3q6-4q3+1=0,解得q3=(q3=1舍去),则=3=3=3=3=.4.(2019延庆模拟)若a,
3、b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数适当排序后可成等差数列,且适当排序后也可成等比数列,则a+b的值等于()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,可得a+b=p,ab=q,即有a0,b0,a,b,-2这三个数适当排序后可成等差数列,且适当排序后也可成等比数列,即a,-2,b或b,-2,a成等比数列,可得ab=4;又a,b,-2或b,a,-2或-2,a,b或-2,b,a成等差数列,可得2b=a-2或2a=b-2,解得a=4,b=1或a=1,b=4,可得a+b=5.5.(2019兰
4、州模拟)若等比数列an的前n项和为Sn=a2n+b(nN*),其中a,b是常数,则a+b的值为()A.3B.2C.1D.0【解析】选D.等比数列an的前n项和为Sn=a2n+b(nN*),其中a,b是常数,可得n=1时,a1=S1=2a+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=a2n+b-a2n-1-b=a2n-1,由题意可得上式对n=1也成立,可得a=2a+b,即a+b=0.6.在ABC中,tanA是以-2为第三项,6为第七项的等差数列的公差,tanB是以为第二项,27为第七项的等比数列的公比,则这个三角形是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对【解析】选B.由tanA
5、是以-2为第三项,6为第七项的等差数列的公差,可得-2+tanA(7-3)=6,即tanA=2.tanB是以为第二项,27为第七项的等比数列的公比,可得:(tanB)7-2=27,即tanB=3.因为在ABC中,tanA=20,tanB=30,A+B+C=,所以0A,0B, C=-A-B,那么tanC=-tan(A+B)=-=-=1.因为0C,所以C=,因此这个三角形是锐角三角形.7.等比数列an的首项为,公比为-,前n项和为Sn,则当nN*时,Sn-的最大值与最小值的比值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.根据题意,等比数列an的首项为,公比为-,则Sn=1-,当n为奇数时,Sn=1+,
6、n1,则有1Sn,当n为偶数时,Sn=1-,则有Sn1,综合可得:Sn,且Sn1,设Sn=t,f(t)=Sn-=t-,分析可得:f(t)=1+,则f(t)在区间和上都是增函数,则Sn-的最大值为f=,最小值为f=-,则Sn-的最大值与最小值的比值为=-.二、填空题(每小题5分,共10分)8.秋末冬初,流感盛行,特别是甲型H1N1流感(简称甲流).某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an,已知a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),则该医院30天入院治疗甲流的人数为_人.【解析】由于an+2-an=1+(-1)n,所以a1=a3=a29=1,a2,a4,a30
7、构成公差为2的等差数列,所以a1+a2+a29+a30=15+152+2=255.答案:2559.已知数列an满足nan+2-(n+2)an=(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若anan+1对任意的nN*恒成立,则实数的取值范围是_.【解析】由nan+2-(n+2)an=(n2+2n)=n(n+2)得-=,所以数列的奇数项与偶数项均是以为公差的等差数列,因为a1=1,a2=2,所以当n为奇数时,=1+=+1,所以an=+n;当n为偶数时,=1+=+1,所以an=+n.当n为奇数时,由anan+1得+n-2,若n=1,则R,若n1,则-,所以0;当n为偶数时,由anan+1得+n-2,所以
8、-,即0.综上,实数的取值范围为0,+).答案:0,+)三、解答题10.(15分)已知等比数列an的公比q1,且a1+a3=20,a2=8.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,Sn是数列bn的前n项和,对任意正整数n,不等式Sn+(-1)na恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由已知得所以2q2-5q+2=0,解得q=或q=2.因为q1,所以所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)由题意,得bn=,所以Sn=+,Sn=+,两式相减,得Sn=+-,所以Sn=+-=-=1-,所以(-1)na1-对任意正整数n恒成立,设f(n)=1-,易知f(n)单调递增,当n为奇函数时,f(n
9、)的最小值为,所以-a-;当n为偶函数时,f(n)的最小值为,所以a.由可知-a0,则=a9=2.4.(5分)已知函数f(x)=a2x+b的图象过点(2,9)和点(4,45),若数列an的前n项和Sn=f(n),数列的前n项和为Tn,则使得Tn55成立的最小正整数n=_.【解析】函数f(x)=a2x+b的图象过点(2,9)和点(4,45),可得4a+b=9,16a+b=45,解得a=3,b=-3;数列an的前n项和Sn=f(n)=32n-3,可知a1=3,q=2,an=32n-1,log2=n-1,数列的前n项和为Tn=,Tn55,即n2-n-1100,可得n11(n-10舍去).使得Tn55成立的最小正整数n=11.答案:115.(10分)已知函数f(x)=e|x|+cosx,数列an是递增的等差数列,且(a5+a9)a8f(a8),求使数列an前n项和Sn0时,f(x)=ex+cosx的导数为f(x)=ex-sinx,由ex1,sin x1,得f(x)0,即f(x)在x0时递增.数列an是递增的等差数列,且(a5+a9)a8f(a8),可得2a7a8|a8|,即有a70,a7+a80,即有a1+a14=a7+a80,则S14=(a1+a14)140,所以使数列an前n项和Sn0成立的最大n的值为14.关闭Word文档返回原板块
