1、高二数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线的倾斜角，则其斜率（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】直接求倾斜角正切值即可得解.【详解】因为直线的倾斜角，所以直线的斜率，故选：2. 如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结
2、论中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可【详解】底面ABCD是平行四边形可知：，所以A正确；，所以B不正确；，所以C正确；，所以D正确.故选：B3. 圆的圆心和半径分别是（ ）A. ，B. ，C. ，5D. ，5【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程即可求解.【详解】由圆的标准方程：，即圆心为，半径为.故选：A4. 已知直线：，则直线经过哪几个象限（ ）A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限C. 二、三、四象限D. 一、三、四象限【答案】D【解析】【分析】分别求得直线的斜率和纵截距，可得直线经过的象限【详解】直线
3、的斜率为，在轴上的截距为，所以直线经过第一、三和四象限，故选：5. 若两异面直线与的方向向量分别是，则直线与的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】B【解析】【分析】设异面直线与所成的角为，根据，即可求解.【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，可得，设异面直线与所成的角为，则，又因为，所以，即直线与的夹角为.故选：B.6. 已知、，若点在线段上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出线段的方程以及的取值范围，利用不等式的基本性质可求得的最小值.【详解】直线的斜率为，所以直线的方程为，即.所以，线段的方程为，所以，因此，的最小值
4、为.故选：A.7. 如图，梯形中，点为空间内任意一点，向量，则、分别是（ ）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】C【解析】【分析】由题意得出，结合空间向量加法与减法的三角形法则可求得、的值.【详解】，因此，.故选：C.8. 圆和圆交于，两点，则两圆公共弦的弦长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】两圆两式相减，得到公共弦所在直线的方程为，结合弦长公式，即可求解.【详解】由题意，圆和圆，两式相减，可得，即公共弦所在直线的方程为，又由圆可化为，可得圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以，即两圆公共弦的弦长为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，
5、有多项符合题目要求.9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，则B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则C. 两个不同的平面，的法向量分别是，则D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【解析】【分析】A中，根据两条不重合直线方向向量共线，判断两直线平行;B中，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，判断直线与平面平行或在平面内;C中，根据两个不同的平面法向量垂直，判断两平面垂直;D中，根据直线的方向向量与平面的法向量共线，判断直线与平面垂直【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；对于
6、B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AC10. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的可能取值是（ ）A. B. 2C. 4D. 6【答案】BCD【解析】【分析】易知,所以点到直线的距离最大时，三角形面积最大，距离最小时，三角形面积最小，而点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，最小值等于圆心到直线的距离减圆的半径，可得三角形面积的范围，即可求解.【详解】在中，令，得，令，得，所以，所以，由知，圆心为，半径，所以圆心到直
7、线的距离，所以点到直线的距离，所以面积的范围为.所以三角形的面积可以为2,4,6故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线的距离可得圆上动点到直线的距离的最大值和最小值，又可以得到，即可求出三角形面积的取值范围，属于中档题.11. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 平面D. 和所成角为【答案】AD【解析】分析】利用线面垂直的判定定理可判断A；根据过一点有且只有一条直线与已知直线平行可判断B；假设平面可得可得判断C；根据异面直线所成角的求法求出EF和所成的角可判断D.【详解】如图，对于A，连接，则，又平面，平面，所以,又，所以平面，又平面，所以，故A
8、正确；对于B，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，所以，又,因此不成立，故B错误；对于C，假设平面，则，连结，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，显然不成立，故C错误；对于D，因为，所以为异面直线和所成的角，在等腰直角中，所以异面直线和所成的角为，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：直线与直线的平行与垂直、直线与平面的垂直判定、异面直线所成角，熟练掌握、运用是解题关键，考查直观想象、逻辑推理的能力，属于中档题.12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨
9、迹为圆，下列结论正确的是（ ）A. 圆的方程是B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为D. 在直线上存在异于，的两点，使得【答案】ABD【解析】【分析】根据，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.【详解】因为，点满足，设点，则 ，化简得：，即 ，故A正确；因，所以，则 ，解得 ，故B正确；易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；假设存在异于，的两点，则，化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：
10、本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.三、填空题：本题共4小题.13. 平面的法向量是，点在平面内，则点到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】先求得，利用点到平面的距离公式，求解即可.【详解】由题意知：，则,设点P到平面的距离为d，则，故答案为：14. 已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为_.【答案】或.【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，得到，即可求解.【详解】由题意，两条平行直线与间的距离为3，根据两平行线间的距离公式，可得，解得或，即的值为或.故答案为：或.【点睛】两平行线间的距离的求法：1、利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意
11、一点到另一条直线的距离；2、利用两平行线间的距离公式求解.15. 如图，已知平面，则线段长为_.【答案】12【解析】【分析】连接，由余弦定理可得的值，由，根据勾股定理可得的值.【详解】连接，因为，由余弦定理可得，因为平面，所以，所以，故答案为：12.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何中求线段长度的问题，方法如下：（1）在三角形中利用余弦定理求边长；（2）根据线面垂直得到线线垂直；（3）在直角三角形中利用勾股定理求边长.16. 已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，直线的方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积要
12、使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直，求得以CM为直径的圆的方程，再与圆C的方程联立可得AB所在直线方程.【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r=2.因为四边形的面积要使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直.直线CM的方程为 ，即联立，解得则以CM为直径的圆的方程为，联立消去二次项可得直线AB的方程为，故答案为：【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直，此时所做圆的直径为CM，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB的直线方程.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明
13、过程或演算步骤.17. 求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程.（1）经过点；（2）与直线平行.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）联立直线、的方程，求出交点的坐标，然后求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（2）求出直线的斜率为，然后利用点斜式可写出所求直线的方程.【详解】（1）联立，解得，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即；（2）直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为.（1）与直线平行的直线的方程可设为；（2）与直线垂直的直线的方程可设为.18. 已知空间中的三点，设，.（1）若与互相垂直，求的值；（2）求点到直
14、线的距离.【答案】(1) 或 （2）【解析】【分析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可(2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为，所以（1），因为，所以，整理得，解得或，所以的值为或.(2) 设直线的单位方向向量为，则由于，所以，所以点N到直线PM的距离【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.19. 条件：图（1）中.条件：图（1）中.条件：图（2）在三棱锥的底面中，.从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以
15、解答.如图（1）所示，在中，过点作，垂足在线段上，沿将折起，使（如图（2），点为棱的中点.已知_，在棱上取一点，使得，求锐二面角的余弦值.【答案】【解析】分析】方案一：选以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，求解锐二面角的余弦值方案二：选以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，求解锐二面角的余弦值方案三：选以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，求解锐二面角的余弦值【详解】方案一：选在
16、图（1）所示的中，设，在中，解得，以点为原点，建立如图所示，的空间直角坐标系，则，0，0，2，0，1，由，可得，取平面的一个法向量，由，得，令，则，2，取平面的一个法向量，0，锐二面角的余弦值为方案二：选在图（1）所示的中，由，得，即因为，所以，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，0，1，由，可得，取平面的一个法向量，由，得，令，则，2，取平面的一个法向量，0，锐二面角的余弦值为方案三：选图（2）在三棱锥的底面中，设，则，所以，解得或又因为，所以，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，0，1，由，可得，取平面的一个法向量，由，得，令，则，2，取平面的一
17、个法向量，0，锐二面角的余弦值为【点睛】求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.20. 已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上.（1）若直线与圆相切，求圆的标准方程；（2）已知动点，满足，说明的轨迹是什么？若点同时在圆上，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】(1) 或（2）【解析】【分析】(1）设圆心C为（a，2a-4)，利用直线与圆相
18、切，求解a，得到圆心坐标，求出圆的方程.(2)由，求出动点M的轨迹方程，说明轨迹，通过点M同时在圆C上，说明圆C与圆D有公共点，利用两个圆的位置关系，转化求解圆心C的横坐标a的取值范围即可【详解】（1）因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a-4)，由题意可得，即，所以，解得或，所以圆心C的坐标为(3，2)或,所以圆C的标准方程为或(2) 由,得化简得：，即，所以动点M的轨迹是以D (0，-1)为圆心，半径是2的圆，若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，则，即整理得：解得，所以圆心C的横坐标a的取值范围为0，.【点睛】关键点点睛：判断两圆位置关系式，只需求出两圆圆心的距离，比较与两
19、圆半径的关系即可，本题根据两圆有公共点可得，解不等式即可求解,属于中档题.21. 如图所示多面体中，平面，四边形为平行四边形，为的中点，为线段上一点，.（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1）取PC的中点为O，连FO，DO，证明四边形EFOD是平行四边形，推出EF,然后证明平面.（2）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PBC一个法向量，的坐标，代入公式求解【详解】（1）取PC的中点为，连FO，DO,因为F，O分别为BP,PC的中点，所以FOBC且，
20、又四边形ABCD为平行四边形，EDBC 且，所以EDFO且，即四边形EFOD是平行四边形，即EF，又EF平面PDC, DO平面PDC,所以平面.（2）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则， ， 设F（a，b，c），因为，所以（a2，b，c3）（8，2，3），解得a，b，c2，F（，2），（，1），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设直线AF与平面PBC所成角为，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：【点睛】关键点点睛：考查线面角的正弦值的求法，首先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到向量的坐标，
21、求出平面的法向量，代入线面角公式，属于中档题22. 已知点，关于原点对称，点在直线上，圆过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为.（1）求圆的半径；（2）已知点，当时，作直线与圆相交于不同的两点，已知直线不经过点，且直线，斜率之和为，求证：直线恒过定点.【答案】(1) r=1或r=3 (2)证明见解析【解析】【分析】(1）由题意可设点M的坐标为(a，a)，圆M的半径为，利用垂径定理即可列式求得a值,进步得到圆M的半径为r=1或r=3.(2)由a 2，得a=0，则圆M的方程为.设点，当直线的斜率存在时，设直线:，联立直线方程与圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线PM，PN斜率
22、之和为，可得.代入，可得直线方程，再由直线系方程证明直线恒过定点(2，-1)，然后证明直线的斜率不存在时不合题意，即可证明直线l恒过定点.【详解】(1）圆M过点A，B，圆心M在AB的垂直平分线上，由已知点A在直线x+y=0上，且点A，B关于原点O对称，点M在直线y=x上，则点M的坐标为(a，a) .圆M与直线x+1=0相切，圆M的半径为，连接MA，由已知得 ，又，故可得，整理得: ，解得a=0或a=2，故圆M的半径为r=1或r=3.（2）由a 2，得a=0，则圆M的方程为.设点，当直线的斜率存在时，设直线:联立方程组，消元得则又直线PM，PN斜率之和为，得.代入，可得直线方程，直线l恒过定点(2，-1)，当直线l的斜率不存在时，因为直线PM，PN斜率之和为，但，且，故不合题意，舍去.综上，直线l恒过定点(2，-1).【点睛】关键点点睛：分直线的斜率存在不存在两种情况分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，韦达定理，关键点根据斜率之和得到，代入直线方程根据直线系问题即可求直线过定点，当直线斜率不存在时，验证即可.
