1、第4课时 利用导数研究不等式的恒成立问题 基础题组练1已知函数f(x)x，g(x)2xa，若对任意的x1，存在x22，3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca2 Da2解析：选A.由题意知f(x)ming(x)min(x2，3)，因为f(x)min5，g(x)min4a，所以54a，即a1，故选A.2(2020吉林白山联考)设函数f(x)ex，若不等式f(x)0有正实数解，则实数a的最小值为_解析：原问题等价于存在x(0，)，使得aex(x23x3)，令g(x)ex(x23x3)，x(0，)，则ag(x)min，而g(x)ex(x2x)由g(x)0可得x(1，)，
2、由g(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)2xk(x1)成立，求k的取值范围解：(1)由已知可得f(x)的定义域为(0，)因为f(x)a，所以f(1)1a0，所以a1，所以f(x)1，令f(x)0得0x1，令f(x)1，所以f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)(2)不等式f(x)2xk(x1)可化为ln xxk(x1)令g(x)ln xxk(x1)(x1)，则g(x)x1k，令h(x)x2(1k)x1，x1，h(x)的对称轴为x.当1时，即k1，易知h(x)在(1，x0)上是减少的，所以h(x)h(1)1k，若k1，则h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是减少
3、的，所以g(x)g(1)0，不合题意若1k0，所以必存在x0使得x(1，x0)时，g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的，所以g(x)g(1)0恒成立，符合题意当1时，即kh(1)1k0，所以g(x)0，所以g(x)在(1，x0)上是增加的所以g(x)g(1)0恒成立，符合题意综上，k的取值范围是(，1)6设f(x)xex，g(x)x2x.(1)令F(x)f(x)g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x21，)，且x1x2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)因为F(x)f(x)g(x)xexx2x，所以F(x)(x1)(ex1)，令F(x)0，解得x1，令F(x)0，解得xx2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，所以mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒成立令h(x)mf(x)g(x)mxexx2x，x1，)，即只需证h(x)在1，)上是增加的即可故h(x)(x1)(mex1)0在1，)上恒成立，故m，而e，故me，即实数m的取值范围是e，)
