1、第1讲 变化率与导数、导数的计算基础题组练1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选C.f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2(2020安徽江南十校检测)曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线l的方程为()Axy20 B2xy30C3xy20 D3xy40解析：选D.因为f(x)，所以f(x)，所以f(1)3，又f(1)1，所以所求切线方程为y13(x1)，即3xy40.3(2020安徽宣城八校联考)若曲线yaln xx2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a()A. B
2、C. D解析：选B.因为yaln xx2(a0)，所以y2x2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k，因此2，所以a.故选B.4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()解析：选D.由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也递减，故排除A、C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故排除B.5(2020广东佛山教学质量检测(一)若曲线yex在x0处的切线也是曲线yln xb的切线，则b()A1 B1C2 De
3、解析：选C.yex的导数为yex，则曲线yex在x0处的切线斜率k1，则曲线yex在x0处的切线方程为y1x，即yx1.yln xb的导数为y，设切点为(m，n)，则1，解得m1，则n2，即有2ln 1b，解得b2.故选C.6设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且f(ln x)xln x，则f(1)_解析：因为f(ln x)xln x，所以f(x)xex，所以f(x)1ex，所以f(1)1e11e.答案：1e7(2020江西重点中学4月联考)已知曲线y在x1处的切线l与直线2x3y0垂直，则实数a的值为_解析：y，当x1时，y1.由于切线l与直线2x3y0垂直，所以1，解得a.
4、答案：8若过点A(a，0)作曲线C：yxex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是_解析：设切点坐标为(x0，x0ex0)，y(x1)ex，y|xx0(x01)ex0，所以切线方程为yx0ex0(x01)ex0 (xx0)，将点A(a，0)代入可得x0ex0(x01)ex0 (ax0)，化简，得xax0a0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程xax0a0有两个不同的解，则有a24a0，解得a0或a4，故实数a的取值范围是(，4)(0，)答案：(，4)(0，)9已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，
5、求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.10已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)
6、可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又因为直线l过点(0，0)，所以0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以
7、x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.综合题组练1在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29C212 D215解析：选C.因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.故选C.2(2020湖北武汉4月调研)
8、设曲线C：y3x42x39x24，在曲线C上一点M(1，4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.y12x36x218x，则y|x1121361218112，所以曲线y3x42x39x24在点M(1，4)处的切线方程为y412(x1)，即12xy80.联立解得或或故切线与曲线C还有其他的公共点(2，32)，所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.3(2020安徽淮南二模)设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点P1，P2处的切线l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则A，B两点之间的距离是()A1 B2C3 D4解析：
9、选B.设P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)，当0x1时，f(x)，不妨设x1(0，1)，x2(1，)，故l1：y(xx1)ln x1，整理得l1：yxln x11，l2：y(xx2)ln x2，整理得l2：yxln x21，所以A(0，1ln x1)，B(0，ln x21)，则|AB|2ln(x1x2)|，因为l1l2，所以1，所以x1x21，所以|AB|2.故选B.4已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限，则P0的坐标为_；若直线ll1，且l也过切点P0，则直线l的方程为_解析：由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x
10、1时，y0；当x1时，y4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为.因为l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.答案：(1，4)x4y1705设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)由题意得，y2x.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，2x1k，联立得，x12，x22(舍去)所以k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得，x
11、2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x29，所以x2，y24.所以Q点的坐标为.6设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任意一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
