1、2.1.3函数的简单性质 奇偶性学.科.网zxxk.组卷网 观察下图，思考并讨论以下问题：(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x|对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值相等。即f(-x)=f(x),这时我们称这样的函数为偶函数.情景创设 观察下图，思考并讨论以下问题：(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像
2、的这种对称性？情景创设 f(x)=xf(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值也成相反数。即f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.学.科.网f(x)=1/x ;)(,functionevenxfyxfxfxxf是数函称么那有都的定义域内的任意一个如果对于函数一般地偶函数 ;)(,functionoddxfyxfxfxxf是那么称函数都有的定义域内的任意一个如果对于函数奇函数 .,1整体性质函数
3、的奇偶性是函数的具有奇偶性我们就说函数是奇函数或偶函数、如果函数xfxf注：2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）数学构建 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.5、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.4、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：A、简化
4、函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性学.科.网zxxk.组卷网对于定义在 上的函数 ，()f x（1）若 则 是偶函数；(1)(1),ff()f x（2）若对于定义域内的一些，使 则 是偶函数；x()(),fxf x()f x（3）若对于定义域内的无数个，使 则 是偶函数；()f xx()(),fxf x（4）若对于定义域内的任意，使 则 是偶函数；x()(),fxf x()f x（5）若 则 不是偶函数。(1)(1),ff()f xR【练习1】判断：.14;|23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例 .112Rxxf的定义域是函数解,11,22xfxx
5、xfRx都有因为对于任意的.12是偶函数函数所以 xxf .22Rxxf的定义域是函数,22,xfxxxfRx都有因为对于任意的.2 是奇函数函数所以xxf判断定义域是否关于数原点对称验证下结论(1)、先看（求）定义域，看是否关于原点对称；(2)、验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.用定义判断函数奇偶性的步骤：(3)、下结论 .14;|23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例 .|23Rxxf的定义域是函数,|2|2,xfxxxfRx都有因为对于任意的.|2是偶函数函数所以xxf .142Rxxf的定义域是函数 .11,11,41
6、,01ffffff所以因为.1,2函数既不是奇函数也不是偶可知函数根据函数奇偶性定义因此xxf【练习2】下列判断是否正确)(12x-x(3)f(x)(x1x1x)(1(2)f(x)(2是非奇非偶函数是偶函数是奇函数1)()1(2xxxxf【练习3】、判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=
7、-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数3,1,)()5(2xxxf.523是否具有奇偶性判断函数例xxxf.53Rxxxf的定义域是函数解,555,333xfxxxxxxxfRx都有因为对于任意的.53为奇函数函数所以xxxf.1513是否具有奇偶性函数：变式xxxf.5224是否具有奇偶性函数：变式xxxf.15324是否具有奇偶性函数：变式xxxff(2)1f(-2)5bxaxf(x)2005则，且思考、设9思考题：1、函数y5是奇函数还是偶函数？2、函数y0是奇函数还是偶函数？Y
8、YYYxx偶函数是偶函数也是奇函数例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.xy0解：画法略相等思考：从图像你有何发现？ab-a-b在对称区间上奇函数单调性同,偶函数单调性反 本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数2、三个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称在对称区间上奇函数单调性同,偶函数单调性反 的解析式。并画出图像上在，求函数时，且上的奇函数，是定义在、已知函数例Rf(x)1xf(x)0 xRf(x)3。)0(1xxy1x-0)(x00)(x利用对称性求函数的解析式f(x)0 xx1x-1f(x)0 xf(x)时，则当时，当，练习：偶函数xx11
