1、第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何目 录考点帮必备知识通关考点1平面的基本性质考点2空间中直线间的位置关系考点3空间中直线、平面间的位置关系目 录考法帮解题能力提升考法1平面的基本性质及应用考法2空间两直线的位置关系考法3求异面直线所成的角目 录高分帮“双一流”名校冲刺提能力数学探索数学探索立体几何中的动态问题 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养空间点、直线、平面之间的位置关系掌握2020全国,T16探索创新 考法1 直观想象2019全国,T8探索创新 考法22018全国,T92017全国,T10课程学习 考法3 直观想象 考情解读命题分析预测空
2、间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何的基础,主要以选择题、填空题的形式出现.命题热点:(1)平面的基本性质及应用;(2)空间线线、线面位置关系的判断;(3)求异面直线所成的角.预测2022年高考命题热点变化不大,但本讲内容是高考多选题命题的好素材,备考时,注意对新题型多选题的训练.考点1 平面的基本性质考点2空间中直线间的位置关系考点3空间中直线、平面间的位置关系考点帮必备知识通关考点1 平面的基本性质1.四个公理名称图形文字语言符号语言用途公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.Al,Bl,且A,Bl.证明“点在面内”或“线在面内”.公理2过不在一条直线上的三点,
3、有且只有一个平面.A,B,C不共线有且只有一个平面,使得A,B,C.(1)确定一个平面;(2)判断两个平面是否重合;(3)证明点、线共面.名称图形文字语言符号语言用途公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.P,且P=l,且Pl.(1)证明“三点共线”“三线共点”;(2)确定两平面的交线.公理4平行于同一条直线的两条直线平行.若直线ab,bc,则ac.判断直线平行.2.公理2的推论推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.考点2 空间中直线间的位置关系1.空间两直线的
4、位置关系位置关系共面情况公共点相交在同一平面内有且只有1个平行在同一平面内0个异面不同在任何一个平面内0个说明(1)过平面外一点A和平面内一点B的直线,与平面内不过点B的直线是异面直线;(2)异面直线既不平行,也不相交;(3)异面直线不具有传递性,即若直线a与b异面,b与c异面,则a与c不一定是异面直线.2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.异面直线所成的角图8-2-1考点3空间中直线、平面间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a=A1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交=l无数个规律总结唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线
5、与已知直线平行.(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.考法1平面的基本性质及应用考法2空间两直线的位置关系考法3求异面直线所成的角考法帮解题能力提升考法1 平面的基本性质及应用示例1 多选题下列说法正确的是A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l平面,直线m平面,则ml解析 对于A,由题意设直线l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C,则A,B,C三点不共线,所以此三点确定一个平面,则A
6、,B,C,所以AB,BC,CA,即l1,l2,l3,所以A正确.对于B,当A,B,C三点不共线时,过A,B,C三点有且仅有一个平面;当A,B,C三点共线时,过A,B,C的平面有无数个,所以B错误,对于C,若空间两条直线不相交,则这两条直线可能平行,也可能异面,所以C错误.对于D,很显然D正确.答案 AD易错警示解答本题时,需注意以下易错点:(1)对于B选项,易忽视三点在同一条直线上的情况,从而误认为B选项正确;(2)对于C选项,易受同一平面内的影响,误认为两条直线不是相交就是平行,从而误认为C选项正确.示例2截面交线问题已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图8-2-2(1)中,E,F分别
7、是D1C1,B1B的中点,画出图8-2-2(1)(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.图8-2-2解析在图8-2-3(1)中,过点E作ENB1B交CD于点N,连接NB并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.在图8-2-3(2)中,过点C1作C1MA1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.图8-2-3证明如下:在图8-2-3(1)中,因为直线ENBF,所以B,N,E,F四点共面,因此EF与BN相交,交点为M.因为MEF,且MNB,而EF平面AEF,NB平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的
8、公共点.又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM为两平面的交线;在图8-2-3(2)中,C1M在平面DCC1D1内,因此C1M与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又点B是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.点评本题解题关键在于构造平面,可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面,进而找出两平面的交线.方法技巧1.证明点共线问题的常用方法公理法 先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上同一法 选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一
9、点,再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法 先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内辅助平面法 先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合考法2 空间两直线的位置关系示例32020福州三检已知平面,两两垂直,直线a,b,c满足a,b,c,则直线a,b,c可能满足以下关系:两两相交;两两垂直;两两平行;两两异面.其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.解析对于,如图8-2-5(1),当=a,=c,=b时,直线a,b,c两两垂直且两两相交,所以正确;对于,如图8-2-5(2),假设abc,=m,易证,mb,因为平面,两两垂直,所以m,因
10、为b,所以mb,这与mb相矛盾,所以假设不成立,所以不正确;对于,如图8-2-5(3),当a,b,c分别平行于平面与,与,与的交线时,a,b,c两两异面,所以正确.综上,正确结论的编号是.图8-2-5答案C示例42019全国卷,5分如图8-2-6,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线图8-2-6答案B方法技巧考法3 求异面直线所成的角思维导引先将三棱柱补成四棱柱,然后利用平移法
11、将异面直线所成角转化为三角形的内角求解.或直接利用平面向量的相关知识求解.或直接建立空间直角坐标系,利用向量法求解.图8-2-8图8-2-9图8-2-10方法技巧求异面直线所成角的方法1.平移法具体步骤如下:高分帮“双一流”名校冲刺提能力数学探索数学探索 立体几何中的动态问题数学探索 立体几何中的动态问题1.判断动点轨迹的形状示例62020广东四校联考若正四面体SABC的面ABC内一动点P到平面SAB,平面SBC,平面SCA的距离成等差数列,则点P在ABC内的轨迹是A.一条线段B.一个点C.一段圆弧D.抛物线的一段思维导引设出点P到平面SAB,平面SBC,平面SCA的距离,依题设推出P到平面S
12、BC的距离为定值,从而得解.解析设点P到平面SAB,平面SBC,平面SCA的距离依次为d1,d2,d3.因为正四面体SABC的体积为定值,所以d1+d2+d3为定值.(利用等体积法得到距离之和为定值)因为d1,d2,d3成等差数列,所以d1+d3=2d2,所以d2为定值.所以点P在平面ABC内的轨迹是一条平行于BC的线段.(利用距离为定值确定点的轨迹)答案 A2.求动点轨迹的长度图8-2-11分析动点P在三棱锥表面形成的轨迹的形状由弧长公式计算动点P在三棱锥表面形成的轨迹的长度思维导引图8-2-12核心素养考查途径素养水平直观想象二数学运算二素养探源方法技巧立体几何中的动态问题主要包括空间动点轨迹的判断、求轨迹的长度或动角的范围等.解题时一般先判断动点运动的轨迹形态,再计算曲线的长度或求解动角的取值范围.求解这类问题需要一定的空间想象能力,具体体现在借助几何模型帮助分析或从极端位置考虑等.
