1、小题专练作业(二十)一、选择题1(2015四川成都诊断)已知m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，且n，则下列叙述正确的是()A若mn，m，则B若，m，则mnC若mn，m，则D若，mn，则m答案C解析A中，还可能相交；B中m，n还可能异面；D中可能m，故选C.2(2015江西六校联考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为()A.B.C2 D.答案A解析由三视图可知，该几何体为正八面体，棱长为1，其外接球半径为，所以其外接球的体积为R3()3，选A.3(2015新课标全国)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O
2、的表面积为()A36 B64C144 D256答案C解析VOABCVCOABSOABhR2h，hmaxR，(VCOAB)maxR336.解得R6，S球4R2144.4(2015山西师大附中模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH的延长线经过点C1CAH垂直平面CB1D1D直线AH和BB1所成的角为45答案D解析由VAA1BDVDA1AB得SA1BDAHSA1ABAD，AH，因为AA1BB1，所以直线AH和BB1所成角等于HAA1，即为cosHAA1，故D项错误，选项A、B、C是正确的
3、5(2015四川成都七中诊测)如图，设P为正四面体ABCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有()A4个 B6个C10个 D14个答案C解析分以下两种情况讨论：(1)点P到其中两个点的距离相等，到另外两个点的距离相等，且这两个距离不相等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；(2)点P到其中三个点的距离相等，到另外一个点的距离与它到其他三个点的距离不相等，此时点P在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点综上，满足题意的点共计10个故选C.6(2015北京东城测试)在直三棱柱A1B1C1ABC
4、中，BCA90，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，且BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A. B.C. D.答案A解析连接D1F1，则D1F1綊B1C1，BC綊B1C1，D1F1綊BC.设E为BC的中点，连接EF1，EA，D1F1綊BE，BD1EF1，EF1A或其补角即为BD1与AF1所成的角设BCCACC11，可得AF1AE，EF1BD1，由余弦定理可求得cosEF1A.故选A.7(2015新课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的
5、四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛答案B解析设底面圆半径为R，米堆高为h.米堆底部弧长为8尺，2R8，R.体积VR2h()25.3，V(尺3)堆放的米约为22(斛)8(2015大连二模)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使翻折后两部分所在的平面互相垂直，则翻折后形成的空间四面体ABCD的内切球的半径为()A. B.1C1 D1答案A解析由题意可知翻折后形成的空间四面体ABCD的体积为11，表面积S21121，设内切球的半径为
6、r，则(1)r，解得r，故选A.9(2015上海模拟)直线m平面，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是()A， B22,22C， D32,32答案B解析由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)半径22.最小距离为AD到球心的距离(即BC与AD的公垂线)半径22，点O到直线AD的距离的取值范围是22,2210(2015江西南昌铁路一中模拟)如图，在棱长为1的正四面体SABC中，O是
7、四面体的中心，平面PQR平面ABC，设SPx(0x1)，三棱锥OPQR的体积为Vf(x)，其导函数yf(x)的图像大致为()答案A解析设O点到底面PQR的距离为h，即三棱锥OPQR的高为h，设底面PQR的面积为S，三棱锥OPQR的体积为Vf(x)Sh，当点P从S到A的过程中，底面积S一直在增大，高h先减小再增大，当底面经过点O时，高为0，体积先增大，后减小，再增大，故选A.11(2015四川内江四模)圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)，若AMMP，则点P形成轨迹的长度为()A. B.C. D.答案D解析以O为原点，建立空间直
8、角坐标系，如图所示设A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M(0,0，)，P(x，y,0)于是有(0,1，)，(x，y，)由于AMMP，所以(0,1，)(x，y，)0，即y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2.12.(2015吉林大学附属中学)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. B.C. D.答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1
9、，PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.二、填空题13(2015甘肃河西五地市联考)正四棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则这个球的表面积为_答案36解析正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1所在的直线上，记为O，POAOR，PO14，OO1R4或OO14R.在RtAO1O中，R28(R4)2，得R3，球的表面积S36.14(2015浙江嘉兴测试)长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAD2，AA13，棱AD在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积S的取值范围是_答案4S2解析四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6
10、，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成显然，Smin4.若记平面ABCD与平面所成角为，则平面ADD1A1与平面所成角为.它们在平面内的射影分别为4cos和6cos()6sin，所以，S4cos6sin2sin()(其中tan)，因此Smax2，当且仅当时取等号因此4S2.15(2015天津河西区质检)如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析AE平面PAC，BCAC，BCPA，ACPAAAEBC，故正确AEAFA，EF平面AEF，A
11、EPB，AFPBEFPB，故正确若AFBCAF平面PBC，则AFAE，与已知矛盾，故错误由可知正确16(2015浙江杭州外国语学校)如图，在等腰直角三角形ABD中，BAD90，且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_答案45解析取BD的中点F，连接EF、AF，易得AFBD，AF平面BCD，则AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EFCDBDAF，所以AEF45，即AE与平面BCD所成的角为45.17(2015四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中
12、点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析建立坐标系如图所示设AB1，则(1，0)，E(，0,0)设M(0，y,1)(0y1)，则(，y,1)由于异面直线所成角的范围为(0，所以cos.又()21，令8y1t(1t9)，则，当t1时等号成立，所以cos，当y0时取得最大值18(2015山东莱芜调研)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE(A平面ABC)是ADE沿DE翻折过程中的一个图形，给出下列命题：平面AFG平面ABC；BC平面ADE；三棱锥ADEF的体积的最大值为a3；动点A在平面ABC上的射影恒在线段AF上；直线DF与平面AFG所成角为60.其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案解析由已知可得四边形ADEF是菱形，则DEGA，DEGA，DEGF，所以DE平面AFG，所以平面AFG平面ABC，正确；又BCDE，所以BC平面ADE，正确；当平面ADE平面ABC时，三棱锥ADEF的体积达到最大，最大值为a2aa3，正确；由平面AFG平面ABC，可知点A在平面ABC上的射影恒在线段AF上，正确；在翻折过程中，DF与平面AFG所成角是DFG30，不正确
