1、第2课时集合的表示方法1.列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法.【思考】一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.例如：a，b与b，a表示同一个集合.2.描述法(1)特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法(简称为描述法)：集合A可以用它的特征性质p(x)表示为x|p(x).(3)集合x|p(x)中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为xI|p(x).【思考】(x，y)|y
2、=x2+2能否写为x|y=x2+2或y|y=x2+2呢？提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.3.区间及其表示(1)一般区间的表示.设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|aax|xa x|x1的解集可以用列举法表示.()(2)xZ|x=2k，kZ与xZ|x=2k，kN是相等的集合.()(3)集合(1，2)和1，2是相等的集合.()(4)集合x|11的解集中有无限多个元素，无法一一列出，不能用列举法表示.(2
3、).xZ|x=2k，kZ 表示所有偶数构成的集合，xZ|x=2k，k N 表示所有非负偶数构成的集合，两个集合是不相等的.(3).集合(1，2)中只有一个元素为(1，2)，而1，2中有两个元素1和2，所以这两个集合不相等.(4).集合x|10B.(x，y)|xy0C.(x，y)|x0且y0D.(x，y)|x0或y0【解析】选C.第一象限的点的横坐标和纵坐标都大于0，所以第一象限的点组成的集合可以表示为(x，y)|x0且y0.类型一 列举法表示集合【典例】用列举法表示下列集合：世纪金榜导学号 (1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合.(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合.(3
4、)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合.【思维引】先明确集合中的元素是什么，然后把元素一一列举出来(注意不重复)，并用“”括起来，元素间用分隔号“，”.【解析】(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1和2，因此可以用列举法表示为1，2.(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为W，e，l，c，o，m.(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为北京，张家口.(4)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，-1)，因此可以用列举法表示为.【内
5、化悟】1.对于数集与平面直角坐标系内的点集，用列举法表示时有什么区别？提示：数集中的元素直接表示出来即可，点集中的元素要用有序数对的形式表示.2.对于含较多元素或无限个元素的集合，能用列举法表示吗？提示：如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.如正整数集1，2，3，4，就不能写成2，1，4，3，.【类题通】1.用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素.(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.(3)用花括号括起来.2.在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本题(4)是点集，而非数集.集
6、合的所有元素用有序数对表示，并用“”括起来，元素间用分隔号“，”.(2)元素不重复，元素无顺序，所以本题(1)中，1，1，2为错误表示.又如集合1，2，3，4与2，1，4，3表示同一集合.【习练破】用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合.(2)式子(a0，b0)的所有值组成的集合.【解析】(1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为3，5，7.(2)因为a0，b0，所以a与b可能同号也可能异号，所以当a0，b0时，=2；当a0，b0，b0或a0时，=0.故所有的值组成的集合为-2，0，2.【加练固】用列举法表示下列集合：(1)已知集合P=x|x=2n，
7、0n2，且nN.(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.(3)x2-4的一次因式组成的集合.(4)由方程组的解所组成的集合.【解析】(1)用列举法表示为P=0，2，4.(2)用列举法表示为6，9，12.(3)用列举法表示为x+2，x-2.(4)用列举法表示为(1，2).类型二 描述法表示集合 【典例】若集合A=x|mx2+2x+m=0，mR中有且只有一个元素，则m的取值集合是_.世纪金榜导学号【思维引】转化为关于x的方程mx2+2x+m=0只有一个实数根，求出m的值.【解析】当m=0时，方程mx2+2x+m=0为2x=0，解得x=0，A=0；当m0时，若集合A只有一个元素，则一元二
8、次方程mx2+2x+m=0有相等实根，所以判别式=22-4m2=0，解得m=1；综上，当m=0或m=1时，集合A只有一个元素.所以m的值组成的集合B=-1，0，1.答案：-1，0，1【素养探】在用描述法表示集合有关的问题中，经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理，通过研究集合中元素具有的共同特征，抽象出方程、不等式、函数等有关问题，并选用恰当的方法进行解答.将本例的条件改为“A=x|mx2-2x+3=0，mR”，若A中元素至多只有一个，求m的取值集合.【解析】当m=0时，原方程为-2x+3=0，x=，符合题意.当m0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由=4-12m0，得m ，即当m
9、时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.由知m=0或m .【类题通】1.描述法表示集合的两个步骤2.用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合xR|x1可以写成x|x1，而不能写成x1.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，xZ|x=2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将kZ也写进花括号内，即xZ|x=2k，kZ.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为xR|x2-2x+1=0，也可写成x|x2-2x+1=0.【习练破】1
10、.已知集合M=x|x=7n+2，nN，则2 018_M，2 019_M.(填“”或“”)【解析】因为2 018=7288+2，2 019=7288+3，所以2 018M，2019M.答案：2.用描述法表示下列集合：(1)正偶数集.(2)被5除余2的正整数集合.(3)坐标平面内坐标轴上的点集.(4)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合.【解析】(1)x|x=2n，nN+.(2)x|x=5n+2，nN.(3)(x，y)|xy=0.(4)(x，y)|xy0，xR，yR.【加练固】已知集合A=x|x2+px+q=x，B=x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3，当A=2时，集合B=()A.1B.1，
11、2C.2，5D.1，5【解析】选D.由A=x|x2+px+q=x=2知22+2p+q=2，且=(p-1)2-4q=0.计算得出，p=-3，q=4.则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3；即(x-1)2-4(x-1)=0；则x-1=0或x-1=4，计算得出，x=1或x=5.所以集合B=1，5.类型三 用区间表示集合及集合表示方法的综合应用【典例】1.用区间表示下列集合：(1)3x-46的解的集合.(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.【思维引】1.求出不等式的解集，选择恰当的区间形式表示.2.选择适当的表示方法的原则是列举法通常用于表示
12、元素个数较少的集合，描述法通常用于表示元素具有明显共同特征的集合.【解析】1.(1)因为3x-40，所以3x4，所以x ，所以A=.(2)因为2x+60，所以2x-6，所以x-3，所以B=-3，+).答案：(1)(2)-3，+)2.(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为1，2，3，4，6，12.(2)x|x=2n+1且x1 000，nN.(3)(8，+).(4)1，2，3，4，5，6.【类题通】1.解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.2
13、.方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质.(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用.【习练破】用适当的方法表示下列集合：(1)所有被5整除的数.(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.(3)不等式组的解集.【解析】(1)x|x=5n，nZ.(2)(x，y)|-1x ，-y1，且xy0.(3)由得所以不等式组的解集为1，3).【加练固】用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间.(1)-2x5.(2)-3x4.(3)2x-3.(6)x-4.【解析】(1)(-2，5).(2)(-3，4.(3)2，5).(4)(-，4.(5)(-3，+).(6)-4，+).
