1、5.1.2 数据的数字特征1.最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.2.平均数(1)定义:如果给定的一组数是x1,x2,xn,则这组数的平均数为(x1+x2+xn).这一公式在数学中常简记为(2)求和符号具有的性质(3)如果x1,x2,xn,的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数是a+b.【思考】(1)x5+x6+x15如何用符号表示?提示:x5+x6+x15=(2)如何证明提示:=kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+xn)=.3.中位数(1)如果一组数有奇数个数,且按
2、照从小到大排列后为x1,x2,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数;(2)如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,x2n,则称为这组数的中位数.4.百分位数(1)定义:一组数的p%(p(0,100)分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有%的数据不小于该值.(2)计算方法:设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取为p%分位数;如果i是整数,取为p%分位数.规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值)【思考】中位数和百分位数的关系是什么?提示:中位数是5
3、0%分位数.5.众数一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.6.极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.7.方差与标准差如果x1,x2,xn,的平均数为,则方差s2=,方差的算术平方根称为标准差.如果x1,x2,xn,的方差为s2,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差是a2s2.【思考】(1)方差和标准差的取值范围是什么?方差、标准差为0的含义是什么?提示:标准差、方差的取值范围:0,+).标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度.(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的?提示:标准
4、差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)对于一组数据来说,众数是唯一的.()(2)中位数在一组数据中是唯一的,且一定是这组数据中的一个数据.()(3)x1,x2,x3的平均数为,方差为s2,则2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均数为2-1,方差为4s2-1.()(4)方差、标准差是反映样本波动大小的特征数.()提示:(1).众数可能不唯一.(2).中位数在一组数据中是唯一的,可能是这组数据中的一个数据,也可能不是这组数据中的数据.(3).2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均数为2 -1,方差为4s2
5、,故错误.(4).2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A.平均数中位数众数B.平均数中位数众数C.中位数众数 ,即在平均数相同的情况下,甲的波动性小,所以甲的成绩好些.【类题通】1.计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:xi-(i=1,2,3,n).(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,n)的平方.(4)算出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差.(5)算出(4)中方差的算术平方根,即为样本标准差.2.标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大,数据的离散程度
6、较大;标准差(方差)较小,数据的离散程度较小.(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差来确定稳定性.【习练破】1.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,则xy=_.【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()25=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,把x+y=20代入,得xy=96.答案:962.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩
7、相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试成绩确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如表:甲127138130137135131乙133129138134128136求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.【解析】设甲、乙两人成绩的平均数分别为,则=130+(-3+8+0+7+5+1)=133,=130+(3-1+8+4-2+6)=133,=(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2=,=02+(-4)2+52+12+(-5)2+32=.因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,选乙参加竞赛比较合适.【加练固】
8、甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为:甲:9910098100100103乙:9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差.(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.【解析】(1)=(99+100+98+100+100+103)=100,=(99+100+102+99+100+100)=100.=(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2=,=(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2=1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
