1、第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算1.n次方根(1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x叫做a的n次方根.(2)表示:n为奇数n为偶数aRa0a=0a0且t是无理数时,at是一个确定的实数.【思考】当a0时,式子ax中的x的范围是什么?提示:xR.5.实数指数幂的运算法则(a0,b0,r,sR)(1)aras=ar+s.(2)(ar)s=ars.(3)(ab)r=arbr.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)n是大于1的正整数,若xn=a,则x=.()(2)()(3)是一个确定的实数.()
2、提示:(1).当n是奇数时,x=(2).(3).由无理数指数幂的意义可知正确.2.=_.【解析】=32=9.答案:93.若x0,则|x|+=_.【解析】因为x0,所以原式=-x-x+1=1-2x.答案:1-2x类型一 n次方根概念及相关的问题【典例】1.化简等于()A.-2B.6C.2D.-62.等于()A.2B.C.D.23.若+(a-3)0有意义,则a的取值范围是_.【思维引】1.根据根指数的奇偶、和3的大小化简.2.将被开方数配成完全平方后化简.3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0,求a的范围.【解析】1.选D.=-3-3=-6.2.选A.3.由得a2,且a3.答案:2,
3、3)(3,+)【内化悟】1.对于根式化简需要注意哪些?提示:注意n的奇偶和a的符号.2.怎样求根式中变量的范围?提示:根指数是正的偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时,被开方数为任意实数.【类题通】根式化简与求值的思路及注意点(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简.(2)注意点:正确区分()n与两式;运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.【习练破】1.已知aR,nN*,给出下列4个式子:其中无意义的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【解析】选A.中-22n0,有意义,中根指数为3,有意义.2
4、.计算【解析】=0.【加练固】的值为()A.-6B.2-2C.2D.6【解析】选A.=-6,所以原式=-6+4-4=-6.类型二 分数指数幂的求值问题【典例】求下列各式的值.世纪金榜导学号(1)(2)(3)【思维引】(1)将底数化为真分数后求值.(2)将根式化为分数指数后求值.(3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.【解析】(1)原式=(2)原式=21=2.(3)原式=【内化悟】如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值?提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指数幂的运算法则计算.【类题通】1.根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法:根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数
5、的分子.(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出.2.关于分数指数幂的求值若式子中含有根式,先化为分数指数,若式子中分数指数幂底数不同,则先化同一底数,最后利用分数指数幂的运算法则先化简后求值.【习练破】求下列各式的值(1);(2);(3)【解析】(1)原式=(2)原式=31=3.(3)原式=【加练固】计算=_.【解析】原式=3622=2 916.类型三 分数指数幂的化简问题角度1 式子化简【典例】(2019衡阳高一检测)=_.世纪金榜导学号【思维引】先将分母的根式化为分数指数,再
6、利用分数指数幂的运算法则化简.【解析】答案:【素养探】在利用分数指数幂运算法则化简时,常常用到核心素养中的数学运算,化简式子或求值.本例中将式子变为,试化简该式.【解析】原式=角度2 条件求值【典例】已知,求的值.【思维引】将已知的式子反复利用完全平方公式,将x的指数升高,再代入求值.【解析】由已知可得:x+x-1=()2-2=()2-2=3.x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.原式=【类题通】1.关于分数指数幂运算法则的应用首先要分析式子的特点,确定化简的层次和顺序,一般从里到外依次化为分数指数幂,其次先进行乘方运算,再进行同底数幂的运算.2.解决条件求值问题的步骤【习练破】1.化简=_.【解析】答案:2.已知x+x-1=4,(0 x1),求【解析】因为x+x-1=4,所以(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=12,因为0 x1,所以x-x-1=-2 ,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=-8 .又因为=x+x-1+2=6,所以所以【加练固】已知x+x-1=3,则的值为_.【解析】由题意()2=x+2+x-1=5,所以所以(x-1+x-1)=(3-1)=.答案:
