1、8.2.4 三角恒等变换的应用(一)1.半角公式倍角公式的变形sin2 =_ cos2 =_tan2 =_一般地,式可以变形为半角公式:【思考】(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?提示:倍角的余弦公式.推导如下:在倍角公式cos 2=1-2sin2=2cos2-1中,以代替2,以代替,即得:cos=1-2sin2 =2cos2 -1.所以sin2 =,cos2 =,tan2 .开方可得半角公式.(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?提示:不能.若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;若给出的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围
2、选用符号.(3)半角公式对R都成立吗?提示:公式对R都成立,但公式要求(2k+1)(kZ).2.积化和差、和差化积公式(1)积化和差公式sin cos=sin(+)+sin(-),cos sin=sin(+)-sin(-),cos cos=cos(+)+cos(-),sin sin=-cos(+)-cos(-).(2)和差化积公式sin x+sin y=2sin sin x-sin y=2cos cos x+cos y=2cos cos x-cos y=-2sin 【思考】(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?提示:两角和与差的正弦、余弦公式.(2)和差化积公式是如何推导出来的?提示:如果
3、令x=+,y=-,则=,从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)cos .()(2)存在R,使得cos cos.()(3)对于任意R,sin sin 都不成立.()(4)若是第一象限角,则tan ()(5)sin xsin y=cos(x-y)-cos(x+y).()提示:(1).只有当-+2k +2k(kZ),即-+4k+4k(kZ)时,cos .(2).当cos=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3).当=2k(kZ)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4).若是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan 成立.(5).积化和
4、差公式.2.若cos=,(0,),则cos的值为()【解析】选C.因为,所以cos 0,3.的值是_.【解析】原式=答案:-类型一 利用半角公式求值角度1 给角求值【典例】求值:=_.=_.【思维引】利用半角公式求解.【解析】(1)sin (2)tan 答案:(1)【发散拓】半角正切公式的有理表示式:tan 公式的推导:tan 【延伸练】已知cos=,为第四象限角,则tan 的值为_.【解析】方法一:(用tan 来处理)因为为第四象限角,所以是第二或第四象限角.所以tan 0.所以tan 答案:方法二:(用tan 来处理)因为为第四象限的角,所以sin 0.所以sin=所以tan 答案:方法三
5、:(用tan 来处理)因为为第四象限的角,所以sin 0.所以sin=-所以tan 答案:角度2 给值求值【典例】若sin(-)=-,则sin 等于 世纪金榜导学号()【思维引】利用诱导公式与半角公式求解.【解析】选B.由题意知sin=所以cos=-所以sin 【素养探】本例考查利用半角公式求值问题,突出考查数学抽象与数学运算的核心素养.本例条件不变求sin ,tan 的值.【解析】由题意知sin=所以cos=-所以sin tan 【类题通】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号
6、问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2计算.(4)下结论:结合(2)求值.【习练破】已知sin=-且 ,求sin ,cos ,tan 的值.【解析】因为sin=-,0,cos=0,所以的终边落在第一象限,的终边落在第一、三象限,所以tan 0,故tan =类型二 三角函数式的化简【典例】化简:(0).世纪金榜导学号【思维引】利用倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.【解析】由(0,),得00,所以又(1+sin+cos)故原式=【素养
7、探】本例考查利用半角公式化简三角函数式,突出考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.本例三角函数式若变为:,试化简.【解析】因为0,所以0 所以又1+sin-cos=2sin cos +2sin2=2sin 所以原式=【类题通】化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【习练破】已知(,2),则等于()A.sin B.cos C.-sin D.-co
8、s【解析】选D.因为(,2),所以所以【加练固】已知 ,化简:【解析】原式=所以原式=类型三 三角恒等式的证明【典例】证明世纪金榜导学号【思维引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边;方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.【证明】方法一:右边=由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以=左边.方法二:左边=由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以cos ,得【类题通】证明三角恒等式的原则(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.【习练破】求证:【证明】方法一:所以原等式成立.方法二:右边=所以原等式成立.【加练固】求证:2sin4x+sin22x+5cos4x-(cos 4x+cos 2x)=2(1+cos2x).【证明】左边=sin22x+=2 sin22x+5 (2cos22x-1+cos 2x)=3+cos 2x=3+(2cos2x-1)=2(1+cos2x)=右边,所以原式成立.
