1、8.2.3 倍 角 公 式 1.倍角公式(1)sin 2=2sin cos(S2).(2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2(C2).(3)tan 2=_(T2).【思考】(1)所谓的“倍角”公式,就是角与2之间的转化关系,对吗?提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8是4的二倍角,3是的倍角,是的倍角,的倍角,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.(2)公式中的角是任意角吗?提示:对于公式S2,C2中的角是任意角,但是T2中的角要保证tan 有意义且分母1-tan20.2.倍角公式的变换(1)因式分解变换cos 2=cos
2、2-sin2=(cos+sin)(cos-sin).(2)配方变换1sin 2=sin2+cos22sin cos=(sin cos)2.(3)升幂缩角变换1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(4)降幂扩角变换cos2=(1+cos 2),sin2=(1-cos 2),sincos=sin 2.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角.()(2)对于任意的角,都有sin 2=2sin 成立.()(3)存在角,使cos 2=2cos 成立.()(4)cos 3sin 3=sin 6对任意的角都成立.()提示:(1).倍角的正切
3、公式,要求 +k(kZ)且 +k(kZ),故此说法正确.(2).当=时,sin 2=sin ,而2sin=2 =1.(3).由cos 2=2cos=2cos2-1,得cos=时,cos 2=2cos 成立.(4).由倍角的正弦公式可得.2.已知sin x=,则cos 2x的值为()【解析】选A.因为sin x=,所以cos 2x=1-2sin2 x=1-23.若tan 2=2,则tan 4=_.【解析】tan 4=答案:-类型一 倍角公式的求值问题【典例】1.sin 10sin 30sin 50sin 70=_.2.计算:=_.3.已知=_.【思维引】1.先用诱导公式转化成余弦值,再构造倍角的
4、正弦公式求解.2.利用倍角的正切公式求解.3.利用诱导公式与倍角的正弦公式求解.【解析】1.原式=cos 80cos 60cos 40cos 20=答案:2.原式=答案:3.因为0 ,所以0 -,又,所以所以原式=2答案:【素养探】本例考查利用倍角公式求值问题,突出考查了数学抽象与数学运算的核心素养.本例1若变形为,试求其结果.【解析】原式=【类题通】1.倍角公式正用、逆用解题的关注点(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.2.条件求值问题的解题实质条件求值问题的解题实质是对已知条
5、件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.【习练破】1.cos4 -sin4的化简结果为()A.cosB.cos C.cos 2D.cos 4【解析】选B.cos4 -sin42.已知=()【解析】选A.由题意有:3.计算:=_.【解析】答案:【加练固】1.化简 =_.【解析】原式=2|cos 4|-2|sin 4+cos 4|,因为4 ,所以cos 40,sin 4+cos 40.所以原式=-2cos 4+2(sin 4+cos 4)=2sin 4.答案:2sin 42.计算:tan 150
6、+=_.【解析】原式=答案:-3.已知则sin 4的值为_.【解析】因为即cos 2=.因为 ,所以2(,2).所以sin 2=所以sin 4=2sin 2cos 2=2答案:-类型二 倍角公式的化简、证明问题角度1 化简问题【典例】化简:【思维引】先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化简.【解析】原式=角度2 恒等式证明问题【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.世纪金榜导学号【思维引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.【证明】左边=所以等式成立.【素养探】本例考查三角恒等式的化简与证明,突出考查了逻辑推理的
7、核心素养.若本例改为:求证:【证明】左边=故原式得证.【类题通】1.三角函数式的化简原则三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【习练破】求证:cos2(1-tan2)=cos 2.【证明】方法一:左边=c
8、os2=cos2-sin2=cos 2=右边.故原式得证.方法二:右边=cos 2=cos2-sin2=cos2 =cos2(1-tan2)=左边.故原式得证.【加练固】化简:,其中(0,).【解析】原式=当 此时原式=sin +cos -cos +sin =2sin .当 此时原式=sin +cos -sin +cos =2cos .类型三 倍角公式与三角函数性质综合问题【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,xR.(1)求f(x)的最小正周期.世纪金榜导学号(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【思维引】先利用倍角公式把解析式化简为f(x)=Asin(x+)的形式再解答.【解
9、析】(1)由已知,有所以f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.【内化悟】研究形如f(x)=asin2x+bsin xcos x的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?提示:研究形如f(x)=asin2x+bsin xcos x的性质时,先化成f(x)=sin(x+)+c的形式再解答.【类题通】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin x+bcos x+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(x+)+k(或y=Acos(x+)+k)的形式,
10、将x+看作一个整体研究函数的性质.【习练破】1.(2018全国卷)函数的最小正周期为()A.B.C.D.2【解析】选C.f(x)=sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=.2.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【解析】(1)f(x)=sin2x+sin xcos x所以f(x)的最小正周期T=.(2)由(1)知,f(x)=由题意知 xm,所以 2x-2m-.要使得f(x)在区间上的最大值为,即sin 在区间上的最大值为1,所以2m-,即m .所以m的最小值为.【加练固】已
11、知函数f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,求cos 2x0的值.【解析】(1)由f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1,得f(x)=(2sin xcos x)-(2cos2x-1)=sin 2x-cos 2x=2sin ,所以函数f(x)的最小正周期为.易知f(x)=2sin 上为增函数,在区间上为减函数,又f(0)=-1,=-1,所以函数f(x)在上的最大值为2,最小值为-1.(2)因为2sin ,所以sin 又x0 所以cos所以cos 2x0=cos类型四 倍角公式的
12、实际应用 实际问题情境某同学在一商店入口处测得科技大厦顶端的仰角为,他从此商店沿公路向前方走了30米,到达医院大门口,测得科技大厦顶端的仰角为2,再沿刚才的方向前进10 米到达路口拐角,此时测得科技大厦顶端的仰角为4,求科技大厦的高度.转化模板1.由题意可以画出该问题的示意图,转化为解三角形问题,利用三角函数模型求解.2.如图,设商店入口为点B,医院大门口为点C,公路口拐角处为点D,科技大厦为EA,A点为顶端.3.如图,ABE=,ACE=2,ADE=4,BC=30,CD=10 .求AE.4.因为ACD=+BAC,所以BAC=,所以AC=BC=30,因为ADE=2+CAD,所以CAD=2,所以AD=CD=10 .在RtADE中,AE=ADsin 4=10 sin 4,在RtACE中,AE=ACsin 2=30sin 2,所以10 sin 4=30sin 2,即20 sin 2cos 2=30sin 2,所以cos 2=,因为2 ,所以sin 2=,所以AE=30sin 2=15.5.科技大厦的高度为15米.
