1、7.1.2弧度制及其与角度制的换算1.度量角(1)弧度制.定义:以弧度为单位来度量角的单位制.1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.表示方法:1弧度记作1 rad.(2)角的弧度数的计算.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是=.【思考】在大小不同的圆中,长为1的弧所对的圆心角相等吗?为什么?提示:不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同.2.角度制与弧度制的换算一些特殊角的度数与弧度数的对应表:【思考】(1)角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间是如何换算的?提示:计算时,我们要特别注意
2、 rad=180,用这个公式进行互化即可.(2)公式=与所取的圆的半径大小是否有关?提示:一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.3.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,(0)为其圆心角,则(1)弧长公式:l=R.(2)扇形面积公式:S=lR=R2.【思考】我们初中学过的半径为r,圆心角为n的扇形弧长、面积公式分别是什么?提示:半径为r,圆心角为n的扇形弧长公式为l=,扇形面积公式为S扇=【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)1弧度就是1的圆心角所对的弧.()(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()(3)160化为弧度制
3、是 rad.()提示:(1).1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.(2).“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.(3).160=160 rad=rad.2.1 080化为弧度制等于()A.1 080 B.C.D.6【解析】选D.1 080=1806所以1 080化为弧度是6.3.5弧度的角的终边所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为52所以5弧度的角的终边在第四象限.4.圆的半径是6 cm,则圆心角为15的扇形面积是_.【解析】因为15=,所以面积S=R2=36=(cm2).答案:cm2类型一 弧
4、度与角度的互化【典例】1.(1)将11230化为弧度为_.(2)将-rad化为角度为_.2.已知=15,=,=1,=105,=,试比较,的大小.【思维引】1.角度弧度互化原则:牢记180=rad,充分利用1=rad和1 rad=进行换算.2.角度弧度互化方法:设一个角的弧度数为,角度数为n,则 rad=;n=n .【解析】1.(1)因为1=rad,所以11230=112.5 rad=rad.(2)因为1 rad=,所以-rad=答案:(1)rad(2)-752.方法一(化为弧度):=15=15=105=105显然故=.方法二(化为角度):=157.30,=105.显然,151857.30105
5、.故=.【类题通】将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记 rad=180即可求解.把弧度转化为角度时,直接用弧度数乘以即可.【习练破】将下列角度与弧度进行互化:(1)=_.(2)-=_.(3)10=_.(4)-855=_.【解析】(1)180=15 330.(2)180=-105.(3)10=10(4)-855=-855答案:(1)15 330(2)-105(3)(4)-类型二 利用弧度表示角【典例】1.下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是()A.2k+45(kZ)B.k360+(kZ)C.k360-315(kZ)D.k+(kZ)2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边
6、界)的角的集合.【思维引】1.根据任意角的概念排除部分选项,再根据角度制与弧度制的互化,选择适当答案.2.用弧度制表示终边相同的角的一般形式是+2k,kZ.表示终边在阴影部分的角,注意应从OB到OA.【解析】1.选C.A,B中弧度与角度混用,不正确;=2+,所以与终边相同.-315=-360+45,所以-315也与45终边相同.2.330角的终边与-30角的终边相同,将-30化为弧度,即-,而75=75所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为【内化悟】1.用弧度制表示终边相同的角时,应注意哪几个问题?提示:需要注意一个题目中不能用两种单位表示;02,kZ.2.用弧度表示终边落在阴影部分
7、角的集合时,应先求哪些量?提示:先求边界OA,OB所表示的角.【类题通】1.弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下,与角的终边相同的角可以表示为|=2k+,kZ,即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.【习练破】1.将-1 125表示成+2k,02,kZ的形式为_.【解析】因为-1 125=-4360+315,315=315所以-1 125=-8.答案:-82.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.【解析】因为30=rad,210=ra
8、d,这两个角的终边所在的直线相同,因为终边在直线AB上的角为=k+,kZ,而终边在y轴上的角为=k+,kZ,从而终边落在阴影部分内的角的集合为类型三 扇形的弧长公式及面积公式角度1 利用公式求弧长和面积【典例】已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60,求扇形的弧长和面积.【思维引】已知扇形的半径,圆心角,把圆心角化为弧度制,利用扇形的弧长、面积公式算出即可.【解析】已知扇形的圆心角=60=,半径r=10 cm,则弧长l=r=10=(cm),于是面积S=lr=10=(cm2).【素养探】在弧度制条件下扇形的计算中,经常需要分析题目给出的条件,准确选择公式,进行计算求值.主要培养数学运算的核心素养
9、.将本例中的条件改为:已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,则扇形的面积为_cm2.【解析】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8 cm,解得r=2 cm,则l=4 cm.故扇形的面积S=lr=42=4(cm2).答案:4角度2 利用公式求半径和弧度数【典例】如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为世纪金榜导学号()A.2 B.C.2sin 1 D.【思维引】连接圆心与弦的中点,构造直角三角形,根据勾股定理求出半径,再求弧长.【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F,则以弦心距BF、弦AC的
10、一半AF、半径AB为长度的线段构成一个直角三角形,半弦长AF为2,其所对的圆心角ABF=1,故半径AB=,这个圆心角所对的弧长为2 角度3 利用公式求扇形面积的最值【典例】已知扇形的周长是40 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?世纪金榜导学号【思维引】设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形的周长为40,用半径r表示弧长l,把面积S写成半径r的二次函数,求最值即可.【解析】设扇形的半径为r,面积为S,弧长为l,圆心角为(02),则l+2r=40,故l=40-2r,又因为S=lr=(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100(0r20),所以,
11、当r=10 cm时,l=40-210=20(cm),所以=2,扇形面积最大,最大面积为100 cm2.【类题通】(1)涉及扇形的圆心角、弧长、弦长、周长、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用勾股定理、弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(2)弧长、面积的最值问题利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数知识求最值,一般常利用二次函数的最值求解,从而发展学生“数学建模”的核心素养.【习练破】1.扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的半径和圆心角.【解析】设扇形圆心角的弧度数为(02),弧长为l cm,半径为r cm,依题意有由,得r=2,所以l=8-2r=4,=2.故所求扇形的半径为2,圆心角为2 rad.2.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小.(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.【解析】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为,(1)由题意可得解得所以=或=6.(2)因为2r+l=8,所以l=8-2r,所以S扇=lr=r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+44,当且仅当r=2,即=2时,扇形面积取得最大值4,所以弦长AB=2sin 12=4sin 1.
