1、6.1.1 函数的平均变化率必备知识素养奠基1.函数的平均变化率(1)定义:一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2D,x1x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称x=x2-x1为自变量的改变量;称y=y2-y1(或f=f(x2)-f(x1)为相应的因变量的改变量;称为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1x2时指的是x2,x1.(2)实际意义:在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加个单位.(3)几何意义:函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图像上两点连线的斜率
2、.近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图像)在某一区间上的变换趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.【思考】x一定是正的吗?如果用x1和x表示x2,那么平均变化率可以怎样表示?提示:不一定,当x1x2时是小于0的;x2=x1+x,平均变化率表示为2.平均速度与平均变化率如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在t1,t2(t1t2时)或t2,t1(t2t1时)这段时间内的平均速度为即物体在某段时间内的平均速度等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)自变量的改变量x不能为0.()(
3、2)因变量的改变量y一定大于0.()(3)函数的平均变化率不能为0.()提示:(1).因为规定闭区间x1,x2,x1x2,故x不等于0.(2).因变量的改变量y可以等于0,也可以小于0.(3).函数的平均变化率可以为0.2.(教材例题改编)某物体的运动规律是s=s(t),则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是()【解析】选A.由平均速度的定义可知,物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以3.已知函数y=f(x)=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量y=_.【解析】y=f(1.5)-f(2)=答案:关键能力素养形成类型一 函数的平均变化率(数学抽象、数学运算
4、)【典例】1.已知函数f(x)=x2+1,当x=2,x=0.1时,y的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.求函数f(x)=3x2+2在下列区间上的平均变化率.(1)x0,x0+x;(2)以x0=2,x=0.3为端点的闭区间.3.求y=f(x)=2x2+1在区间x0,x0+x上的平均变化率,并求当x0=1,x=时平均变化率的值.【解析】1.选B.因为x=2,x=0.1,所以y=f(x+x)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.2.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0+x上的平均变化率为=6x0+3x.(2)当x0=2,
5、x=0.3时,函数y=3x2+2在区间2,2.3上的平均变化率为62+30.3=12.9.3.函数f(x)=2x2+1在区间x0,x0+x上的平均变化率为=4x0+2x.当x0=1,x=时,平均变化率为41+2 =5.【类题通】求平均变化率的三步骤(1)计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1).(2)计算自变量的改变量x=x2-x1.(3)得平均变化率类型二 物体的平均速度(数学抽象、数学运算)【典例】已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=1.2;t=0.6时,x=2.2.(1)求这个物体在时间段0.1,0.5内的平均速度;(2)估计t=0.3时物体的位移.【思
6、维引】(1)利用位移除以时间求平均速度;(2)将物体的运动看作直线运动,利用直线方程估计物体的位移.【解析】(1)所求的平均速度为=2(cm/s);(2)将x在0.1,0.6上的图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为2,且直线过点(0.1,1.2),因此,x与t的关系可以近似地表示为x-1.2=2(t-0.1).在上式中令t=0.3,可求得x=1.6 cm.即物体的位移可以估计为1.6 cm.【类题通】关于物体的平均速度(1)如果已知物体运动的轨迹方程,则可以转化为计算函数的平均变化率来求物体运动的平均速度;(2)如果物体的运动轨迹未知,只知道在某些时刻的位移,则可以“以直代曲”,将运动轨
7、迹近似看成直线解决相关的问题.【习练破】已知物体运动位移x cm是时间t s的函数,而且t=0.1时,x=4.7;t=0.2时x=4.4.(1)求这个物体在时间段0.1,0.2内的平均速度;(2)估计t=0.05时物体的位移.【解析】(1)所求的平均速度为=3(cm/s);(2)将x在0.1,0.2上图像看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为-3,且直线过点(0.1,4.7),因此x与t的关系可以近似地表示为x-4.7=-3(t-0.1).在上式中令t=0.05,可求得x=4.85 cm.即物体的位移可以估计为4.85 cm.类型三 平均变化率的意义及应用(逻辑推理、数学应用)角度1 比较平均
8、变化率的大小【典例】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,x=时平均变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?【思维引】通过计算平均变化率比较大小.【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+x之间的平均变化率为=-2x0-x,当x0=1,x=时,平均变化率的值为-,当x0=2,x=时,平均变化率的值为-,当x0=3,x=时,平均变化率的值为-,因为所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.【素养探】本例中,求x0=1和x=-0.1时闭区间x0,x0+x上的平均变化率.【解析】函数f(x)=3-x2在x0到x0+x之间的平均变化率为=-
9、2x0-x,当x0=1,x=-0.1时,平均变化率的值为1.9.角度2 根据图象判断速度的大小【典例】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示,在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为,则三者的大小关系为_.【思维引】根据图像的上升的快慢进行判断.【解析】而由图像知kOAkAB0,所以填“小于”.答案:小于3.如图所示,函数y=f(x)在x1,x2,x2,x3,x3,x4这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是_.【解析】由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间x1,x2,x2,x3,x3,x4上的平均变化率分别为结合图像可以发现函数y=f(x)的平均变化率
10、最大的一个区间是x3,x4.答案:x3,x41.已知函数y=,当x由2变为1.5时,函数值y的增量为()【解析】选C.y=课堂检测素养达标2.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+x之间)的平均变化率是()A.2+x B.2-xC.2D.(x)2+2【解析】选C.y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)-2=2x.所以=2.3.函数f(x)=5x-3在区间a,b上的平均变化率为_.【解析】x=b-a,y=f(b)-f(a)=5(b-a),=5.答案:54.(教材例题改编)函数f(x)=x2+1在2到2.5之间的平均变化率为_.【解析】x=2.5-2=0.5,y=f(2.5)-f(2)=2
11、.52-22=2.25,=4.5.答案:4.55.已知函数y=x3,当x=1时,=_.【解析】因为y=(1+x)3-13=(x)3+3(x)2+3x,所以=(x)2+3x+3.答案:(x)2+3x+3课时素养评价十三 函数的平均变化率【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数y=1在2,2+x上的平均变化率是()A.0 B.1 C.3D.x【解析】选A.=0.2.函数y=x2在x0到x0+x之间的平均变化率为k1,在x0-x到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2C.k1=k2D.不确定【解析】选D.k1=2x0+x,k2=
12、2x0-x.因为x可大于零也可小于零,所以k1与k2的大小关系不确定.3.一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间1,1+t内质点运动的平均速度为()A.3t+6 B.-3t+6C.3t-6 D.-3t-6【解析】选D.因为s=5-3(1+t)2-(5-312)=-3(t)2-6t,所以v=-3t-6.4.如果函数y=ax+b在区间1,2上的平均变化率为3,则a=()A.-3B.2C.3D.-2【解析】选C.根据平均变化率的定义,可知=a=3.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_.【解析】由函数f(x)的图像知,
13、所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为答案:6.已知曲线y=-1上两点A ,B ,当x=1时,割线AB的斜率为_.【解析】因为y=所以,即k=.所以当x=1时,答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.求函数y=x3+1在x0到x0+x之间的平均变化率,并计算当x0=1,x=时平均变化率的值.【解析】当自变量从x0变化到x0+x时,函数的平均变化率为=+3x0 x+(x)2.当x0=1,x=时,平均变化率的值为312+31 +=.8.已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.【解析】自变量x从1变到2时
14、,函数f(x)的平均变化率为自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为因为所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.【能力练】(15分钟30分)1.(5分)在曲线y=x2+x上取点P(2,6)及邻近点Q(2+x,6+y),那么为()A.2+x B.2x+(x)2C.x+5D.5x+(x)2【解析】选C.因为y=(2+x)2+(2+x)-6=(x)2+5x,所以=x+5.【加练固】若有函数f(x)=-x2+10的图像上一点及邻近一点,则=()A.3B.-3C.-3-(x)2D.-x-3【解析】选D.因为y=-3x-(x)2,所以-3-x.2.(5分)若函数y=在区间1,
15、a上的平均变化率为-,则a=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为x=a-1,y=,所以所以a=2.【加练固】若函数f(x)=x2-c在区间1,m上的平均变化率为3,则m等于()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.故m=2.3.(5分)函数y=x2+2在x0到x0+x之间的平均变化率为k1,在x0-x到x0的平均变化率为k2,则()A.k1k2C.k1=k2D.不确定【解析】选D.k1=2x0+x,k2=2x0-x.所以k1-k2=2x,因为x的正负不确定,所以k1与k2的大小关系也不确定.4.(5分)一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的
16、函数关系为h=2t2+2t,则:(1)前3 s内球的平均速度为_m/s;(2)在t2,3这段时间内球的平均速度为_m/s.【解析】(1)由题意知,t=3 s,h=h(3)-h(0)=24(m),即平均速度为v=8(m/s).答案:8(2)由题意知,t=3-2=1(s),h=h(3)-h(2)=12(m),即平均速度为v=12(m/s).答案:125.(10分)若函数y=f(x)=-x2+x在2,2+x(x0)上的平均变化率不大于-1,求x的取值范围.【解析】因为函数y=f(x)在2,2+x上的平均变化率为=-3-x,所以由-3-x-1,得x-2.又因为x0,所以x0,即x的取值范围是(0,+).本课结束
