1、13.2.2 空间两条直线的位置关系第1课时 平 行 直 线必备知识自主学习1.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和理解定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.特点:异面直线既不相交又不平行,即不同在任何一个平面内.导思1.空间中的直线有哪几种位置关系?2.基本事实4的内容及应用有哪些?(2)空间两条直线的位置关系位置关系 共面情况公共点个数相交直线 在同一平面内有且只有一个平行直线 在同一平面内没有异面直线 不同在任何一个平面内没有2.平行直线及基本事实4基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行用符号表示为ac.【思考】没有公共点的两条直线一定是平行直线?提示:
2、没有公共点的两条直线也可能是异面直线.3.等角定理定理:如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.【思考】当这两个角的两边分别平行并且一组边方向相同,而另一组边方向相反时,这两个角什么关系呢?提示:这两个角互补.如图:AB与AB方向相同,AC与AC方向相反.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行.()(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.()(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.()2.异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内
3、的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线3.(教材二次开发:习题改编)已知ABPQ,BCQR,ABC=30,则PQR等于()A.30B.30或150C.150D.以上结论都不对【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同,所以有可能互补.关键能力合作学习类型一 空间中两条直线位置关系的判断(直观想象、数学抽象)【题组训练】1.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有()A.3对B.4对C.5对D.6对2.若直线ab,bc=A,则a与c的位置关系是()A.异面 B.相交C.平行 D.异面或相交3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断
4、下列直线的位置关系:直线A1B与直线D1C的位置关系是_;直线A1B与直线B1C的位置关系是_;直线D1D与直线D1C的位置关系是_;直线AB与直线B1C的位置关系是_.【解题策略】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(
5、)A.4B.5C.6D.7【解析】选C.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BA1异面的直线有CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共6条.类型二 证明直线和直线平行(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.四步内容理解题意条件:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.结论:四边形EFGH是平行四边形.思路探求证明一个四边形是平行四边形,需要证明一组对边平行且相等,或者是两组对边分别平行.书写表达证明:
6、因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EFAC,HGAC,EF=HG=AC,所以EFHG,EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性.题后反思一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.也可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明.【解题策略】证明两直线平行,目前有两种途径:一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.【拓展延伸】平行直线在生活中的应用平行直线在生活中有着广泛的应用,有时候要利用平行直线去解决实际问题,
7、基本事实4就是很好的工具.【拓展训练】如图所示为一长方体木料,木料的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.类型三 基本事实4和等角定理的应用(直观想象、逻辑推理)角度1 基本事实4的应用【典例】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F 分别是AB,BC,AB,BC的中点.求证:EEFF.【思路导引】想证明EEFF,可以证明EE、FF这两条直线同时和第三条直线平行.【证明】因为E,E分别是AB,AB的中点,所以BEBE,且BE=BE.所以四边形EBBE是平行四边形.所以EEBB,同理可证FFBB.所以EEFF.【变式探究】在本例中,若M,N分别是A
8、D,CD的中点.求证:四边形ACNM是梯形.【证明】在正方体中,MNAC且MN=AC,因为ACAC,且AC=AC,所以MNAC,且MN=AC.又AM与CN不平行,故四边形ACNM是梯形.角度2 等角定理证明两个角相等【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,证明:BGC=FD1E.【思路导引】证明两个角相等,只需要证明两个角的两条边分别平行,且方向相同即可.【证明】因为F为BB1的中点,所以BF=BB1,因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.又BB1DD1,BB1=DD1,所以BFD1G,BF=D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.所以
9、D1FGB,同理D1EGC.所以BGC与FD1E的对应边平行且方向相同,所以BGC=FD1E.【解题策略】证明两个角相等的方法(1)利用等角定理,但是一定要注意方向相同.(2)利用三角形全等或相似.【题组训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)EFE1F1;(2)EA1F=E1CF1.2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_;(2)A1BA与D1CD的大小关系是_.【补偿训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求
10、证:EFGC1DA1.备选类型 平行直线的证明(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,空间四边形ABCD的对角线AC,BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是()A.矩形 B.正方形C.菱形 D.空间四边形【思路导引】判断四边形EFGH的形状,首先证明是平行四边形,然后从邻边上考虑特殊的四边形.【解析】选C.因为E,F,G,H分别为各边的中点,所以EFAC,GHAC,EHBD,FGBD,EF=GH=AC,EH=FG=BD,所以四边形EFGH是平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH是菱形.【解题策略】证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位
11、线、平行四边形的性质等.(2)定义法用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)基本事实4用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得ab,同时bc,由基本事实4即可得到ac.【跟踪训练】如图,A是BCD所在平面外一点,M,N分别是ABC和ACD的重心,已知BD=6.判断MN与BD的位置关系.【解析】MNBD.理由如下:连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F,由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,连接EF.因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EFBD,且EF=BD.又因为点M为ABC的重心,点N为ACD的重心,所以AM
12、ME=ANNF=21,所以MNEF,且MN=EF,故MNBD.1.两等角的一组对应边平行,则()A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对【解析】选D.另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补)的区别.课堂检测素养达标2.(教材二次开发:练习改编)已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,故B正确,A错误;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.3.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线la,那么直线l与直线b的位置关系为_.【解析】以正方体为例,如图,当直线l位于图中两位置时,直线l与b的位置关系是相交或异面.答案:异面或相交4.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是_.
