1、第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数10.1.1 两角和与差的余弦必备知识自主学习两角和与差的余弦公式导思1.两角差的余弦公式是怎样推导出来的?2.利用两角差的余弦公式能解决哪些问题?简记符号公式使用条件C(-)cos(-)=_,RC(+)cos(+)=_cos cos+sin sin cos cos-sin sin【思考】(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?提示:在两角差的余弦公式cos(-)=cos cos+sin sin 中,只要用-替换,便可以得到两角和的余弦公式.(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?提示:可简单记为“余余
2、正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)cos(70+40)=cos 70-cos 40.()(2)对于任意实数,cos(-)=cos-cos 都不成立.()(3)对任意,R,cos(+)=cos cos-sin sin 都成立.()(4)cos 30cos60+sin 30sin 60=1.2.cos 75cos 15-sin 75sin 15的值等于_.【解析】逆用两角和的余弦公式可得:cos 75cos 15-sin 75sin 15=cos(75+15)=cos
3、 90=0.答案:03.(教材二次开发:例题改编)cos 615的值为()【解析】选D.cos 615=cos(720-105)=cos(-105)=cos 105=cos(45+60)=.关键能力合作学习类型一 利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)【题组训练】1.cos 22cos 38-sin 22sin 38的值为()2.cos 345的值等于()3.cos(-40)cos(-20)-sin(-40)sin(-20)=_.【解题策略】两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或
4、差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.【补偿训练】求下列各式的值:(1)cos;(2)sin 460sin(-160)+cos 560cos(-280);(3)cos(+20)cos(40-)-sin(+20)sin(40-).类型二 给值(式)求值(数学运算)角度1“逆用”求值【典例】(2020泰安高一检测)已知sin,则cos+sin 的值为()A.-B.C.2D.-1【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.角度2“拼凑角”求值【典例】(1)已知sin求cos 的值.(2),为锐角,cos(+)=,cos(2+)=,求cos 的值.【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进
5、行分析,看已知条件中的角如何“拼凑”成结论中的角.【变式探究】1.将本例(1)的条件改为“sin,且”,如何解答?【解析】因为sin,且,所以+,所以cos=所以cos=cos=coscos+sinsin=-+=.2.将本例(1)的条件改为“sin,”,求cos的值.【解析】因为,所以-.又因为sin=-0,所以-0,所以cos=所以=cos=cos+sin 【解题策略】解决三角函数的求值问题的关键点(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已
6、知角”;考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.【题组训练】1.已知为锐角,为第三象限角,且cos=,sin=-,则cos(-)的值为()2.已知cos则cos+sin 的值为_.【解析】因为cos=coscos+sinsin=cos+sin=,所以cos+sin 答案:【补偿训练】若sin-sin=,cos-cos=,则cos(-)的值为()类型三 给值求角问题(数学运算)【典例】已知0,-0,且,满足sin=,cos=,求-.【解题策略】已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数
7、值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.【跟踪训练】1.已知cos=,cos(+)=-,则=_.2.已知sin=,sin=,且和均为钝角,则+=_.【解析】因为,均为钝角,所以cos=所以cos(+)=cos cos-sin sin 由和均为钝角,得+2,所以+=.答案:1.cos 20=()A.cos 30cos 10-sin 30sin 10B.cos 30cos 10+sin 30sin 10C.sin 30cos 10-sin 10cos 30D.cos 30cos 10-sin 30cos 10【解析】选B.cos 20=cos(30
8、-10)=cos 30cos 10+sin 30sin 10.课堂检测素养达标2.计算的值是()A.0【解析】选C.=cos cos+sin sin=cos=cos.3.已知锐角,满足cos=,cos(+)=-,则cos 等于()【解析】选A.因为,为锐角,cos=,cos(+)=-,所以sin=,sin(+)=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin 4.sin 75=_.【解析】sin75=cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=答案:5.设,都是锐角,且cos=,sin(+)=,求cos 的值.【解析】因为,都是锐角且cos=,所以,0,所以+,又sin(+)=,所以+,所以cos(+)=sin=所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin
