1、8.1.3 向量数量积的坐标运算基础预习初探回顾以下知识:1.点的坐标与平面向量的坐标:(1)单位正交基底:在平面直角坐标系中,在x轴、y轴正方向上分别取单位向量e1,e2,则_是一组单位正交基底.(2)平面向量的坐标:如果对于平面向量a,有a=xe1+ye2,则向量a的坐标为_,记作_.e1,e2(x,y)a=(x,y)(3)单位正交基底向量的坐标:对于单位正交基底向量e1,e2,显然,其坐标分别为e1=_,e2=_,且e1e2=_,e1e1=e2e2=_.2.两点间的距离:(1)若点A(-3,0),B(3,0),则|=_.(2)若点A(-3,3),B(3,-5),则|=_.(1,0)(0,
2、1)01610【概念生成】1.向量的数量积的坐标公式设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)数量积公式:ab=_.(2)向量垂直公式:abab=_.x1x2+y1y20 x1x2+y1y2=02.三个重要公式(1)向量的模:a2=|a|=_.(2)两点间的距离公式:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|=_.(3)向量的夹角公式:cos=_.核心互动探究探究点一 利用向量数量积的坐标公式计算【典例1】(1)已知向量a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,2),则a(b+c)=.(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),求ab,|3a-b|,(a+b)(
3、2a-b).【思维导引】(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算.(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算.【解析】(1)因为b=(-2,4),c=(-1,2),所以b+c=(-2,4)+(-1,2)=(-3,6).又因为a=(2,3),所以a(b+c)=2(-3)+36=-6+18=12.答案:12(2)ab=12+35=17.因为3a=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),所以3a-b=(1,4),所以|3a-b|=因为a+b=(3,8),2a=(2,6),所以2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),所以(a+b)(2a-b)=30+81=8.【类题通法】1.数量积
4、坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式ab=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:|a|2=aa.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.2.求向量的模的两种基本策略(1)定义表示下的运算.利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算.若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=.【定向训练】1.
5、已知O为坐标原点,点A(1,0),B(0,2),若OCAB于点C,则(+)=.【解析】设点C的坐标为(x,y),则=(x,y),由A(1,0),B(0,2),得=(-1,2),=(x-1,y),因为OCAB于点C,答案:2.(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足则|=;=.【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),|=,又=(0,-1),所以 =-1.答案:-1探究点二 向量数量积的坐标公式与夹角问题【典例2】(1)(2020全国卷)设向量a=(1,-1),b=(m
6、+1,2m-4),若ab,则m=.(2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,),设a与b的夹角为.若=120,求的值.要使为锐角,求的取值范围.【思维导引】(1)根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.(2)由=120求cos=,建立方程求的值.要使为锐角,则cos 0,且a与b不能共线,建立不等式求的取值范围.【解析】(1)由ab可得ab=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,即m=5.答案:5(2)由于a=(1,3),b=(2,),则ab=2+3,当=120时,cos 120=得平方整理得
7、132+24-12=0,解得=,由于ab=2+30,所以0,且cos 1,因为ab=|a|b|cos 恒大于0,所以ab0,即12+30,解得-.若a平行于b,则1-23=0,即=6.但若a平行于b,则=0或=,与为锐角相矛盾,所以6.综上所述,-且6.【类题通法】利用向量法求夹角的方法技巧1.若求向量a与b的夹角,利用公式cos=当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角.2.非零向量a与b的夹角与向量的数量积的关系:(1)若为直角,则充要条件为向量ab,则转化为ab=0 x1x2+y1y2=0.(2)若为锐角,则充要条件为ab0,且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同).(3)若为钝角,
8、则充要条件为ab0,且a与b的夹角不能为(即a与b的方向不能相反).【定向训练】已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(,6),若向量a-b与c的夹角为钝角,则实数的取值范围是.【解析】由a=(1,-2),b=(-1,1),得a-b=(1,-2)-(-1,1)=(2,-3),因为a-b与c=(,6)的夹角为钝角,所以(a-b)c0,得2-180,解得9,又由(a-b)c,得12=-3,即=-4.此时,a-b=(2,-3),c=(-4,6)=-2(a-b),向量a-b与c的夹角为平角,所以=-4不满足题意.因此9,且-4.答案:(-,-4)(-4,9)探究点三 向量数量积的坐标公式的综
9、合问题【典例3】在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动.(1)求证:为定值.(2)求的最大值.【思维导引】(1)利用向量的投影证明,也可以建立平面直角坐标系,利用向量的坐标计算数量积.(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值,也可以建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标公式,建立函数求最大值.【解析】方法一 几何法(1)如图,在边长为1的正方形ABCD中,(2)如图,作CNEM,垂足为N,则EBMCNM,得所以EMMN=CMMB=,方法二 坐标法以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(1,1),D(0,1),设
10、E(x,0),x0,1,(1)=(1-x,1)(0,1)=1(定值).(2)可知C(1,1),M(),则=(1-x,1)()=(1-x)2+,当x0,1时,(1-x)2+单调递减,当x=0时,取得最大值.【类题通法】解决向量数量积的最值的方法技巧1.“图形化”技巧:利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的直观特征进行判断.2.“代数化”技巧:若已知条件中具有等腰三角形或矩形,常常建立平面直角坐标系,通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.【定向训练】(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则
11、(+)的最小值是()【解析】选B.如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),【补偿训练】在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,若M,N分别在边BC,CD上运动(包括端点),且满足则的取值范围是.【解析】分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(3,1),D(0,1),设M(3,b),N(x,1),因为答案:1,9【课堂小结】课堂素养达标1.已知a=(1,2),b=(-3,2),则ab=()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.因为a=(1,2
12、),b=(-3,2),所以ab=1(-3)+22=1.2.已知a=(1,2),b=(6,-3),则必有()A.abB.b=3aC.abD.b=-3a【解析】选C.由a=(1,2),b=(6,-3),得16+2(-3)=0ab.3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角为()A.45B.60C.120D.135【解析】选D.因为向量a=(2,2),b=(0,-3),则ab=-6,|a|=2 ,|b|=3,则cos=又0180,所以a与b的夹角为135.4.已知向量a=(1,-1),向量b=(-1,2),则(2a+b)a=.【解析】由向量a=(1,-1),b=(-1,2),得2a+b=(1,0),所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=11+0(-1)=1.答案:1
