1、7.3.5 已知三角函数值求角基础预习初探已知三角函数值求角的概念是什么?继续探究:符号arcsin a(a-1,1),arccos a(a-1,1),arctan a(aR)分别表示什么?提示:arcsin a表示在区间上,正弦值为a的角,arccos a表示在区间0,上余弦值为a的角,arctan a表示在区间内正切值为a的角.【概念生成】1.已知正弦值,求角对于正弦函数y=sin x,如果已知函数值y(y-1,1),那么在上有唯一的x值和它对应,记为x=_2.已知余弦值,求角对于余弦函数y=cos x,如果已知函数值y(y-1,1),那么在_上有唯一的x值和它对应,记为x=_(其中-1y
2、1,0 x).arcsin y0,arccos y3.已知正切值,求角一般地,如果y=tan x(yR)且x ,那么对每一个正切值y,在开区间内,有且只有一个角x,使tan x=y,记为x=_ arctan y核心互动探究探究点一 已知正弦值求角【典例1】已知sin x=(1)当x 时,求x的取值集合.(2)当x0,2时,求x的取值集合.【思路导引】尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【解析】(1)因为y=sin x在上是增函数,且sin =,所以x=,所以是所求集合.(2)因为sin x=0,所以x为第一或第二象限的角.且sin =sin所以在0,2上符合条件的角有x=所以x的取值集合为【延
3、伸探究】若本例题条件不变,当xR时,求x的取值集合.【解析】当xR时,x的取值集合为【类题通法】已知三角函数值求角的步骤(1)定象限:由已知函数值的正负确定角所在的象限.(2)找锐角:如果函数值为正,先求出对应的锐角;若函数值为负值,则先求出与其绝对值相对应的锐角.(3)求符合条件的角:根据角所在的象限,利用诱导公式写出0,2范围内的角;如果要求出0,2范围外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值写出结果.【定向训练】已知sin x=,根据下列角的范围求角x(用arcsin y表示).(1)x .(2)x0,2.【解析】(1)因为x 且sin x=,所以x=arcsin .(2)因为x0
4、,2,sin x=0,所以x0,.当x 时,x=arcsin .当x 时,因为0-x ,即-x 且sin(-x)=sin x=,所以-x=arcsin ,即x=-arcsin .所以当x0,2时x=arcsin或x=-arcsin .【补偿训练】已知sin=,根据所给范围求角.(1)为锐角.(2)R.【解析】(1)由于sin=,且为锐角,即 ,所以=arcsin .(2)由于sin=,且R,所以符合条件的所有角为1=2k+arcsin (kZ),2=2k+-arcsin (kZ),即=n+(-1)narcsin (nZ).探究点二 已知余弦值求角【典例2】已知cos x=-.(1)当x0,时,
5、求值x.(2)当xR时,求x的取值集合.【思路导引】解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x,然后再根据题目要求,利用诱导公式求出相应的角x的集合.【解析】(1)因为cos x=-且x0,所以x=arccos(2)当xR时,先求出x在0,2上的解.因为cos x=-,故x是第二或第三象限角.由(1)知x=arccos是第二象限角,又所以,由余弦函数的周期性知当x=arccos +2k或x=2-arccos +2k(kZ)时,cos x=-,即所求x值的集合是【类题通法】余弦函数值与角之间的对应关系【定向训练】已知cos=-,则=.【解析】由余弦函数在0,上是减函数和cos=-可知,在0
6、,内符合条件的角有且只有一个arccos ,即arccos 0,.又因为cos=-0,所以arccos 所以2-arccos .所以=2-arccos .答案:2-arccos探究点三 已知正切值求角【典例3】已知tan=-2,若(1)(2)0,2,分别求角.【思路导引】尝试由arctan a的范围及给值求角的步骤求解.【解析】(1)由正切函数在开区间上是增函数,可知符合tan=-2的角只有一个,即=arctan(-2)且 (2)因为tan=-20,所以是第二或第四象限的角.又因为0,2,由正切函数在区间上是增函数知,符合tan=-2的角有两个.因为tan(+)=tan(+2)=tan=-2,
7、且arctan(-2),所以=+arctan(-2)或=2+arctan(-2).【类题通法】正切函数值与角之间的对应关系【定向训练】已知tan x=-1,写出在区间-2,0内满足条件的x.【解析】因为tan x=-10,所以x是第二或第四象限的角.由tan =-tan =-1可知,所求符合条件的第四象限角为x=-.又由tan =-tan =-1,得所求符合条件的第二象限角为x=-,所以在-2,0内满足条件的角是-与-【课堂小结】课堂素养达标1.设cos=-,(0,),则的值可表示为()A.arccosB.-arccosC.-arccosD.+arccos【解析】选C.因为-arccos (0,),且cos =-cos所以=-arccos .2.若是三角形内角,且sin=,则等于()A.30B.30或150C.60D.120或60【解析】选B.因为是三角形内角,所以0180.因为sin=,所以=30或150.3.已知sin=-,-0,则等于()A.-arcsinB.+arcsinC.arcsinD.-arcsin【解析】选C.因为-0,且sin=-,所以=arcsin .4.函数y=arccos(sin x)的值域为.【解析】因为-x ,所以-sin x1,所以0arccos(sin x).答案:
