1、7.3 三角函数的性质与图像7.3.1 正弦函数的性质与图像基础预习初探1.在如图所示的单位圆中,角的正弦值、余弦值分别是什么?提示:sin=y;cos=x.基础预习初探2.如何在直角坐标系中作出点?提示:如图,把单位圆6等分,确定出与单位圆的交点坐标P,再把x轴上从0到这一段分成3等份,找到x轴上的位置,然后把MP向右平移就找到了点.继续探究:3.观察在0,2上正弦函数的图像,它上面哪几个点对函数图像的确定起关键作用,利用这些关键点可快速地画出正弦函数图像.提示:观察正弦函数的图像,发现在0,2上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sin x在0,2上的图像的形状就基本上确定了.
2、这五点如下:(0,0),(,0),(2,0).4.遇到一个新的函数,我们常常借助图像的哪些特征研究函数性质,该图像特征对应的函数性质主要有哪些?提示:一般从函数的图像入手,研究函数性质.主要通过图像的对称性看奇偶性、图像的最高点与最低点看最值,图像上点的横纵坐标的范围看定义域、值域,图像的周而复始看周期性,图像的上升、下降趋势看单调性等等.【概念生成】1.正弦函数的性质(1)函数的周期性周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_,使得对定义域内的_x,都满足_,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.最小正周期:对于一个_函数f(x),如果在它的_存在一个_,那么这个_就
3、称为f(x)的最小正周期.非零常数T每一个f(x+T)=f(x)周期所有周期中最小的正数最小的正数(2)正弦函数的性质2.正弦函数的图像及作法(1)“正弦线”作图.利用正弦线可以作出y=sin x,x0,2的图像.要想得到y=sin x(xR)的图像,只需将y=sin x,x0,2的图像_即可,此时的图像叫做正弦曲线.沿x轴平移2,4,(2)“五点法”.核心互动探究探究点一 正弦函数的单调性及应用【典例1】已知函数f(x)=sin x-1.(1)写出f(x)的单调区间.(2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合.(3)比较的大小.【思路导引】结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.【
4、解析】(1)因为函数f(x)=sin x-1与g(x)=sin x的单调区间相同,所以f(x)=sin x-1的增区间为(kZ),减区间为(kZ).(2)因为函数g(x)=sin x,当x=2k+(kZ)时,取最大值1,当x=2k+(kZ)时,取最小值-1.所以函数f(x)=sin x-1,当x=2k+(kZ)时,取最大值0,当x=2k+(kZ)时,取最小值-2.(3)因为且g(x)=sin x在上是增函数,所以所以【类题通法】1.确定三角函数的单调区间的方法:如换元法、列表法、图像法等,解题时需适当选取.(1)对形如y=Asin(x+)(其中A,均为非零常数)的函数单调区间,一般用换元法求解
5、,但要注意和A的符号,若0,应先利用诱导公式将x的系数化为正数,然后再用换元处理.(2)对于与指数、对数、一元二次函数相结合的题目,一定要利用指数、对数、一元二次函数的单调性和三角函数的单调性相结合.2.比较异名三角函数值的大小时,应先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数,再运用三角函数单调性比较.【定向训练】求函数y=sin x在上的最大值和最小值.【解析】由y=sin x,x 知,函数y=sin x在上递增,在上递减,故当x=时,ymax=1,当x=时,ymin=0,所以函数y=sin x的最大值为1,最小值为0.【补偿训练】求函数y=sin2x-4sin x+5的最
6、值,并求取得最值时x的取值集合.【解析】因为y=(sin x-2)2+1,sin x-1,1,所以当sin x=-1,即x=2k+(kZ)时,ymax=10;当sin x=1,即x=2k+(kZ)时,ymin=2,即y取得最大值10时,x的取值集合是;y取得最小值2时,x的取值集合是.探究点二 正弦函数的周期性、奇偶性【典例2】(1)函数f(x)=sin 2x的奇偶性为()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)函数f(x)=|sin x|的最小正周期为.(3)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是,且当x 时,f(x)=sin x
7、,求的值.【思路导引】利用函数的周期性、奇偶性的定义解答.【解析】(1)选A.因为f(x)的定义域是R.且f(-x)=sin 2(-x)=-sin 2x=-f(x),所以函数为奇函数.(2)方法一:因为f(x)=|sin x|,所以f(x+)=|sin(x+)|=|sin x|=f(x),所以f(x)的周期为.方法二:因为函数y=|sin x|的图像如图所示.由图像可知T=.答案:(3)因为f(x)的最小正周期是,所以因为f(x)是R上的偶函数,所以所以【延伸探究】1.若本例(3)条件不变,求的值.【解析】2.若本例(3)中“偶”变“奇”其他条件不变,求的值.【解析】3.若本例(3)条件为:函
8、数f(x)为偶函数且求的值.【解析】因为=-f(x),所以f(x+)=f(x),即T=,【类题通法】1.求三角函数周期的方法(1)定义法:即利用周期函数的定义求解.(2)图像法:即通过观察函数图像求其周期.2.判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.【定向训练】判断函数f(x)=的奇偶性.【解析】因为函数的定义域为R,关于原点对称,显然有f(-x)=f(x)恒成立,所以函数f(x)=为偶函数.【补偿训练】1.已知aR,函数f(x)=sin x-|a|,xR为奇函数,则a等于()A.0B.1C.-1D.1【解析】选A.由f(-x)=-f(x),得sin(
9、-x)-|a|=-sin x+|a|,2|a|=0,所以a=0.2.函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为.【解析】因为f(a)=a3+sin a+1=2,所以a3+sin a=1.所以f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin a)+1=-1+1=0.答案:0探究点三 用“五点法”作简图【典例3】作函数y=3tan xcos x的图像.【思路导引】先化简函数,再用“五点法”原理在同一坐标系中作出函数的图像.【解析】由题意得cos x0,所以xk+(kZ),于是函数y=3tan xcos x的定义域为.又y=3tan xcos x=3s
10、in x,即y=3sin x 按五个关键点列表:描点并将它们用平滑曲线连起来(如图):先作出y=3sin x,x0,2的图像,然后向左、右扩展,去掉横坐标为的点,得到y=3tan xcos x的图像.【类题通法】用五点法画函数y=Asin x+b(A0)在0,2上的简图的步骤(1)列表:(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y),(,y),(2,y),这里的y是通过函数式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.【定向训练】用“五点法”画出函数y=3-sin x(x0,2)的图像.【解析】(1)列表:(2)描点,连线,如图所示.【课堂小结】课
11、堂素养达标1.(2020涟水高一检测)用“五点法”作y=2sin x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()【解析】选A.由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为0,2.2.下列图像中,是y=-sin x在0,2上的图像的是()【解析】选D.函数y=-sin x的图像与函数y=sin x的图像关于x轴对称.3.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.由于xR,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.4.正弦曲线在(0,2内最高点的坐标为,最低点的坐标为.【解析】由正弦曲线知,正弦曲线在(0,2内最高点为,最低点为.答案:
