1、8.6.3 平面与平面垂直(二)基础预习初探1.教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直?提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可.2.如图长方体ABCD-ABCD,在平面DCCD中,作直线lDC.你能得出什么结论?提示:在平面DCCD内,若直线l垂直于交线DC,则直线l垂直于平面ABCD.【概念生成】平面与平面垂直的性质定理核心互动探究探究点一 平面与平面垂直的性质定理的应用【典例1】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且DAB=60,侧面PA
2、D为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB.【思维导引】(1)连接BD,菱形ABCD,DAB=60ABD为正三角形BGAD 由平面与平面垂直的性质定理得出结论(2)连接PG,要证ADPB,只需证AD平面PBG即可.【证明】(1)如图,在菱形ABCD中,连接BD,因为DAB=60,所以ABD为正三角形,因为G是AD的中点,所以BGAD.因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,所以BG平面PAD.(2)如图,连接PG.因为PAD是正三角形,G是AD的中点,所以PGAD,由(1)知BGAD.又因为PGBG=G.所
3、以AD平面PBG.而PB平面PBG,所以ADPB.【类题通法】1.面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.【定向训练】1.(2019全国卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是
4、异面直线【解析】选B.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=a,DB=2 a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DBDMcosBDE=9a2-4 a2cosBDE,EN2=DE2+DN2-2DEDNcosBDE=6a2-4 a2cosBDE,所以BMEN.2.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD=BD=,BAC=30,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是_.当平面ABD平面ABC时,C、D两点间的距离为;在三角板
5、ABD转动过程中,总有ABCD;在三角板ABD转动过程中,三棱锥D-ABC体积的最大值为.【解析】取AB中点O,连接DO,CO,因为AD=BD=,所以DO=1,AB=2,OC=1,因为平面ABD平面ABC,DOAB,所以DO平面ABC,DOOC,所以DC=,正确;若ABCD,则AB平面CDO,ABOC,因为O为中点,所以AC=BC,BAC=45与BAC=30矛盾,所以错误;当DO平面ABC时,棱锥的高最大,此时V棱锥=ACBCDO=11=,正确.答案:探究点二 垂直关系的综合应用【典例2】如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2
6、 ,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【思维导引】(1)利用平面与平面垂直的性质及题设条件,证明AD平面ABC,即可得出结论.(2)利用异面直线所成角的定义,先找角,再求值.(3)利用直线与平面所成角的定义,先找角,再求值.【解析】(1)由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)连接CM.因为ABC为等边三角形,M为AB的中点,故CMAB,CM=.取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MNBC,所以DMN(或其补角)为异面直线B
7、C与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=4.在RtCMD中,sinCDM=所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.【类题通法】1.线面垂直条件的应用技巧当题目条件中含有线面垂直的条件时,一般想到的结论为:(1)线线垂直,即直线与平面内任一直线垂直.(2)面面垂直,即经过该直线的平面与该平面垂
8、直.2.面面垂直条件的应用技巧当题目中含有面面垂直的条件时,一般想到的解题思路为:(1)可以在一个平面内找或作一条垂直于交线的直线,转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.(2)求斜线与某一平面所成的角,观察该斜线是否与另一平面相交,若相交可过交点在该平面内作交线的垂线,进而找到斜线的射影.(3)求点到平面的距离,可转化为某一平面内一点到交线的距离.【知识延拓】如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC.(2)ADAC.【解题指南】(1)根据ABAD,EFAD,可得EFAB,从而得E
9、F平面ABC.(2)证明BCAD,再由ABAD,从而可得AD平面ABC,即得ADAC.【证明】(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又因为ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC,又因为AC平面ABC,所以ADAC.【定向训练】(2018北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E
10、,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.【证明】(1)在PAD中,PA=PD,E是AD的中点,所以PEAD,又底面ABCD为矩形,所以ADBC,所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ADCD,又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,所以CD平面PAD,又PA平面PAD,所以CDPA,又因为PAPD,CD,PD平面PCD,CDPD=D,所以PA平面PCD,又PA平面PAB,所以平面PAB平面PCD.(3)取PC的中点G,连接DG,FG,因为底面ABCD为矩形,所以ADBC,又E
11、是AD的中点,所以DEBC,在PBC中,因为F,G分别是PB,PC的中点,所以FGBC,所以DEFG,四边形DEFG是平行四边形,所以EFDG,又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.【补偿训练】1.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)求证:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.【解析】(1)在图中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC.即在图中
12、,BEA1O,BEOC,又A1OOC=O,从而BE平面A1OC.因为BCADED,所以四边形BCDE为平行四边形,所以CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1)可得A1OBE,所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由图知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=SA1O=a2 a=a3.由a3=36 ,得a=6.2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90,平面PAB平面BAC,D,E分别为AB,AC的中点.(
13、1)求证:ABPE.(2)求二面角A-PB-E的大小.【解析】(1)连接PD,因为PA=PB,D为AB的中点,所以PDAB.因为DEBC,BCAB,所以DEAB.又因为PDDE=D,所以AB平面PDE,因为PE平面PDE,所以ABPE.(2)因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,所以PD平面ABC.则DEPD,又EDAB,PDAB=D,所以DE平面PAB,过D作DF垂直PB于F,连接EF,则EFPB,DFE为所求二面角的平面角,则DE=,DF=,则tanDFE=故二面角A-PB-E的大小为60.【课堂小结】课堂素养达标1.平面平面,直线a平面,则()A.aB.aC.a
14、与相交D.以上都有可能【解析】选D.因为a,平面平面,所以直线a与垂直、相交、平行都有可能.2.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.ABC内部【解析】选A.CA平面ABC1平面ABC平面ABC1,所以过C1作垂直于平面ABC的垂线,垂线在平面ABC1内,所以点H在两平面的交线上,即HAB.3.已知平面、和直线m、l,则下列命题中正确的是()A.若,=m,lm,则lB.若=m,l,lm,则lC.若,l,则lD.若,=m,l,lm,则l【解析】选D.选项A缺少了条件l;选项B缺少了条件;选项C缺少了条件=m,lm;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.4.如图所示,平面平面,A,B,AB与两平面,所成的角分别为45和30,过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A,B,则ABAB等于()A.21B.31C.32D.43【解析】选A.如图,由已知得AA平面,ABA=30,BB平面,BAB=45,设AB=a,则BA=a,BB=a,在RtBAB中,AB=a,所以
