1、8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行 基础预习初探1.分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?提示:不一定.它们可能异面,可能相交,也可能平行.2.观察长方体ABCD-A1B1C1D1,显然ABCD,CDC1D1,则AB与C1D1有何位置关系?提示:ABC1D1.3.如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为菱形,ADC与ADC,ADC与ABC的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?提示:ADC=ADC,ADC=ABC.【概念生成】1.基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相_图形语言符号语言直线a,b,c,ab,bc_作 用证明两条直线平行说 明基本事实
2、4表述的性质通常叫做空间平行线的_ac传递性平行2.等角定理空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_.相等或互补核心互动探究探究点一 直线与直线平行【典例1】如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.证明:四边形EFGH是平行四边形.【思维导引】连接BD,先利用三角形的中位线求得EHBD和FGBD,再由基本事实4得到EHFG,从而得到四边形EFGH是平行四边形.【证明】连接BD,因为EH是ABD的中位线,所以EHBD,且EH=BD.同理FGBD,且FG=BD.所以EHFG,且EH=FG.所以四边形EFGH是平行四边形.【类题通法】证明两条直线平行的
3、两种方法(1)利用平行线的定义:证明两条直线在同一平面内且无公共点.(2)利用基本事实4:寻找第三条直线,然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行,根据基本事实4,显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点,则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.【定向训练】已知正方体ABCD-ABCD中,M、N分别为CD、AD的中点.求证:四边形MNAC是梯形.【证明】如图,连接AC,因为M,N分别为CD,AD的中点,所以MNAC.由正方体性质可知ACAC,所以MNAC,所以四边形MNAC是梯形.探究点二 等角定理的应用【典例2】已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点.证
4、明:BEC=B1E1C1.【思维导引】结合题干条件寻找BEC与B1E1C1两边的对应关系.【证明】如图,连接EE1,因为E、E1分别为AD、A1D1的中点,所以A1E1AE.所以四边形A1E1EA为平行四边形.所以A1AE1E.又因为A1AB1B,所以E1EB1B.所以四边形E1EBB1是平行四边形.所以E1B1EB.同理,E1C1EC.又BEC与B1E1C1的方向相同,所以BEC=B1E1C1.【类题通法】求角相等:一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【拓展提升】在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:EA1F=
5、E1CF1.【证明】取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MBCF1,因为A1MEB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1EMB,所以A1ECF1,同理可证:A1FE1C,又EA1F与F1CE1两边的方向均相反,所以EA1F=E1CF1.【定向训练】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:NMP=BA1D.【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CDA1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1DB1C.因为M、N分别是CC1、B1C1的
6、中点,所以MNB1C,所以MNA1D.因为BCA1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1.因为M、P分别是CC1、C1D1的中点,所以MPCD1,所以MPA1B,所以NMP和BA1D的两边分别平行,且两边方向均相反,所以NMP=BA1D.课堂素养达标1.如果两条平行直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有平行直线()A.12对B.18对C.24对D.36对【解析】选B.由基本事实易知共有18对.2.已知BAC=40,ABAB,ACAC,则BAC=()A.40B.140C.40或140D.大小无法确定【解析】选C.当BAC与BAC开口方向相同时,BAC=40;当BAC与
7、BAC开口方向相反时,BAC=140.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是()A.正方形B.菱形C.矩形D.空间四边形【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.4.如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是棱AB,AD,BC,CD的中点.求证:四边形EFFE为平行四边形.【证明】连接BD,BD,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,同理EFBD,在正方体ABCD-ABCD中,四边形BBDD为平行四边形,所以BDBD,所以EFEF,故四边形EFFE为平行四边形.
