1、6.2.2 向量的减法运算 新课程标准素养风向标 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及理解其几何意义.1.借助向量的加法类比推理出向量的减法.(逻辑推理)2.能熟练地进行向量的加、减运算解决向量的实际问题.(数学建模)基础预习初探1.a的相反向量是什么?-a的相反向量是什么?零向量的相反向量是什么?提示:与向量a长度相等且方向相反的向量称作向量a的相反向量,记作-a,并且有a+(-a)=0.-a的相反向量是a,即-(-a)=a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?提示:向量的减法也有类似法
2、则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【概念生成】1.相反向量定义如果两个向量长度_,而方向_,那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量有:a+(-a)=_若a,b互为相反向量,则a=_,a+b=_零向量的相反向量仍是零向量相等相反0-b02.向量的减法定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_作法在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=.如图所示几何意义如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的_指向向量a的_的向量相反向量终点终点核心互动探究探究点一 向量的减法运算【典例1】化简下列各式:(1);(2)
3、.【思维导引】(1)通过相反向量,把减法变为加法.(2)有相同起点的向量的减法用三角形法则.【解析】(1)原式=.(2)原式=.【类题通法】向量减法运算的常用方法【知识延拓】非零向量的差的三角不等式(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知|a|-|b|a-b|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;若|a|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:|a|-|b|a-b|a|+|b|.【定向训练】化简:.【解析】.
4、【补偿训练】下列式子不能化简为的是()【解析】选D.对于A,有;对于B,有;对于C,有;只有D无法化简为.探究点二 利用已知向量表示其他向量【典例2】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.【思维导引】解答本题要注意,及向量加法减法几何意义的应用.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以c,b-a,故b-a+c.【类题通法】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键:一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意:注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;注意应用向量
5、加法、减法的几何意义以及它们的运算律;注意在封闭图形中利用多边形法则.2.用已知向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置.(2)寻找相应的平行四边形或三角形.(3)运用法则找关系,化简得结果.【定向训练】在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,试用a,b,c=_.【解析】因为=a，=b,=c,所以=c-b,所以=a+c-b.答案:a+c-b探究点三 向量减法几何意义的应用【典例3】若,则的取值范围是什么?【思维导引】利用向量减法几何意义求解.【解析】由及三角不等式,得,又因为【类题通法】向量a+b,a-b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对
6、角线具有的性质要熟悉并会应用.基本思路是:先对向量条件化简、转化,再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状,利用图形的几何性质求解.【定向训练】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量满足,则四边形ABCD的形状为_.【解析】因为,所以.所以,所以四边形ABCD是平行四边形.答案:平行四边形【补偿训练】已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.【解析】如图,作=a,=b,再以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则有a+b,a-b,即|a+b|与|a-b|是平行四边形的两条对角线的长度,又因为|a+b|=|a-b|,所以该四边形为矩形,从而|a-b|.【课堂小结】课堂素养达标1.在ABC中,a,b,则=()A.a-bB.b-aC.a+bD.-a-b【解析】选D.-a-b.2.如图所示,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中a,b,c,则等于()A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c【解析】选D.如题干图b-c.3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是()【解析】选C.因为A正确;因为B正确;因为,C错误;因为D正确.4.已知a,b,且AOB=90,则|a-b|=_.【解析】AOB=90,.a,b,a-b所以|a-b|.答案:135.化简:.【解析】方法一:.方法二:.
