1、2019-2019学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练1.如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC,若D=50，则A的度数是（ ）A.20B.25C.40D.50【答案】A 【解析】 ：CD是圆O的切线OCCD，及OCD=90COD=90-50=40A=COD=40=20故答案为：A【分析】利用切线的性质及三角形内角和定理求出COD的度数，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出A的度数。2.如图，ABC的边AC与O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与O相切，切点为B如果A=34，那么C等
2、于（ ）A.28B.33C.34D.56【答案】A 【解析】 ：连结OB,AB与O相切OBABABO=90AOB=90A=9034=56弧BD=弧BDC=AOBC=56=28故答案为：A【分析】由切线的性质及三角形内角和定理，求出AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，就可求出C的度数。3.如图，PA为O的切线，A为切点，PO交O于点B，PA=8，OA=6，sinAPO的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 ：PA为O的切线OAAPOAP=90OP=sinAPO=故答案为：B【分析】由切线的性质，可证得AOP是直角三角形，利用勾股定理求出OP的长，然后利用锐角三
3、角函数的定义，求出sinAPO的值。4.如图，AT切O于点A，AB是O的直径若ABT=40，则ATB=_.【答案】50 【解析】 ：AT切O于点A，AB是O的直径ABATBAT=90ATB=90-ABT=90-40=50故答案为：50【分析】由切线的性质可求得BAT=90，再根据直角三角形两锐角互余，即可解答。5.如图，AB是O的直径，AD是O的切线，点C在O上，BCOD，AB=2，OD=3，则BC的长为_.【答案】【解析】 ：AB是O的直径，AD是O的切线C=OAD=90BCODB=AODcosB=cosAOD解之：BC=故答案为：【分析】由BCOD，可得出B=AOD，进而可得出cosB=c
4、osAOD，建立方程求解即可。6.如图，AB是O的直径，C、D是O上的点，CDB=30，过点C作O的切线交AB的延长线于E，则sinE的值为_.【答案】【解析】 连接OCCE是圆O的切线OCCEOCE=90弧CB=弧CB，CDB=30COE=2CDB=230=60E=90-COE=30sinE=sin30=【分析】根据圆的切线的性质可证得OCE是直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，求出COE的度数，就可求出E的度数，就可解答。7.如图，已知点O为RtABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE求证：AE平分CAB；【答案
5、】证明：连接OEOE=OA1=OEABC是圆O的切线OEBCB=90ABBCOEABOEA=BAE1=BAEAE平分CAB。 【解析】【分析】利用切线的性质可得出OEBC，再由已知RtABC，去证明OEAB，由平行线的性质及等腰三角形的性质，再证明OEA=BAE，1=OEA，就可证得结论。8.已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B （1）如图，若BAC=23，求AMB的大小；（2）如图，过点B作BDMA，交AC于点E，交O于点D，若BD=MA，求AMB的大小【答案】（1）解：MA、MB分别切O于点A、BAM=BM，OAAMMBA=MABBAC+MAB=90BAC=23MBA=MAB
6、=90-23=67AMB=180-267=46（2）解：连接AB、ADBDAM，DB=AM，四边形BMAD是平行四边形，BM=AD，MA切O于A，ACAM，BDAM，BDAC，BE=DE，AC垂直平分BDAB=AD=BM，MA、MB分别切O于A. B，MA=MB，BM=MA=AB，BMA是等边三角形，AMB=60 【解析】【分析】（1）利用切线长定理及切线的性质，可得出AM=BM，OAAM，可推出MBA=MAB，BAC+MAB=90，结合已知求出BAM的度数，从而求出AMB的度数。（2）由BDAM，DB=AM，证明四边形BMAD是平行四边形，再利用垂径定理证明AB=AD=BM，然后证明BMA是
7、等边三角形，就可求得结果。9.过圆上一点可以作圆的_条切线；过圆外一点可以作圆的_条切线；过圆内一点的圆的切线_ 【答案】1；2；0 【解析】 ：过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆内的一点的切线有0条；故答案为：1、2、0【分析】由切线的定义即可直接写出答案。10.以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_ 【答案】直角三角形 【解析】 ：如图所示，AB是直径，AC是切线，ABAC，ABC是直角三角形。故选B.【分析】根据切线的性质定理得此三角形的两边互相垂直，可知它是一个直角三角形。11.下列直线是圆的切线的是（ ） A.与圆有公共点的直线B.到圆心
8、的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.过圆直径外端点的直线【答案】B 【解析】 ：A、与圆有公共点的直线 ，可能与圆相交，也可能与圆相切，故A不符合题意；B、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故B符合题意；C、垂直于圆的半径的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故C不符合题意；D、过圆直径外端点的直线，可能与圆相交，也可能与圆相切，故D不符合题意；【分析】利用圆的切线的定义对各选项逐一判断。12.OA平分BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的P与OC相切，那么P与OB的位置是（ ） A.相交B.相切C.相离D.相交或相切【答案】B 【解析】 ：如图，设P与直线OC相
9、切于点E，连结PE，则PEOC，过P作PDOB于D，OP是P的角平分线，PE=PD，PD是半径P与直线OB相切.故答案为：B【分析】根据题意画出图形，利用角平分线的性质，可证得PE=PD，再由切线的判定定理，可证得结论。13.ABC中，C=90，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（ ） A.相切B.相交C.相离D.不能确定【答案】A 【解析】 ：如图ABC中，C=90，AB=13，AC=12，BC=以B为圆心，5为半径的圆BC=r直线AC与以B为圆心，5为半径的圆相切故答案为：A【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据切线的判定，可得出结果。14.菱形的对角
10、线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的O与菱形其它三边的位置关系是（ ） A.相交B.相离C.相切D.无法确定【答案】C 【解析】 ：如图过点O作OEAB，OFBC菱形ABCDBD平分ABCOE=OF同理可证点O到菱形各边的距离都相等以点O到菱形一边的距离为半径的O与菱形其它三边的位置关系是相切，故答案为：C【分析】利用菱形的性质及角平分线的性质，可证得菱形的对角线交点O到菱形各边的距离都相等，即可证得结论。15.平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=x的位置关系是（ ） A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能【答案】C 【解析】 ：如图点A（
11、3，4）OA=点A到直线y=-x的距离为线段AB的长AB5以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=x的位置关系是相交故答案为：C【分析】画出图形，根据勾股定理求出AO的长，再根据垂线段最短，可得出AB5，从而可判断出直线y=-x与圆A的位置关系。16.如图，AB是半径O的直径，弦AC与AB成30角，且AC=CD（1）求证：CD是O的切线； （2）若OA=2，求AC的长 【答案】（1）证明：连接OC弦AC与AB成30角，且AC=CDA=D=30OA=OCACO=A=30COD=A+ACO=30+30=60OCD=180-60-30=90即OCCDCD是O的切线（2）解：连接CBCOD=60，OC=O
12、BOCB是等边三角形OA=OB=BC=2，CBA=60AB是圆O的直径ACB=90在RtABC中，BC=2，CBA=60tanCBA=AC=2tan60=AC的长为。 【解析】【分析】（1）要证CD是O的切线，连半径，证垂直（OCCD），只需由已知条件分别求出D和COD的度数，就可证得结论。（2）连接CB，利用圆周角定理，可证得ABC是直角三角形，再证明OCB是等边三角形，就可求出CB、AB的长，利用解直角三角形或勾股定理，求出AC的长。17.如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，DBC=A （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长 【答
13、案】（1）证明：AB是半圆O的直径D=90A+DBA=90DBC=ADBC+DBA=90BCABBC是半圆O的切线（2）解：BEC=D=90，BDAD，BD=6，BE=DE=3，DBC=A，BCEBAD，即AD=4.5 【解析】【分析】（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理，即证明ABBC即可。（2）由OCAD，可得出BEC=D=90，再证明BCEBAD，利用相似三角形的性质即可求出AD的长。18.如图，AB为O的直径，弦CDAB于点M，过点B作BECD，交AC的延长线于点E，连结BC（1）求证：BE为O的切线； （2）如果CD=6，tanBCD= ，求O的直径 【答案】（1）证明
14、：CDAB，BECDBEABBE为O的切线（2）解：CDAB，CD=6CM=CD=3在RtBCM中，tanBCD= 解之：BM=CDAB弧BC=弧BDBCD=AtanA=解之：AM=6圆O的直径为：AM+BM=6+=7.5 【解析】【分析】（1）由CDAB，BECD，易证BEAB，就可证得结论。（2）利用垂径定理求出CM的长，根据同弧所对的圆周角相等，得出BCD=A，根据锐角三角函数的定义，分别求出BM、AM的长，就可求出圆的直径。19.如图，已知：ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sinB= ，D=30（1）求证：AD是O的切线； （2）若AC=6，求AD的长 【答案】（1）证明：如图，
15、连接OAsinB=B=30AOC=2B=60D=30OAD=180DAOD=90OAADAD是圆O的切线（2）解：OA=OC，AOC=60AOC是等边三角形，OA=AC=6，OAD=90，D=30tanD=tan30=解之：AD=【解析】【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，连接OA，只要证明OAD=90。利用特殊角的三角函数值，求出B的度数，再利用圆周角定理求出AOC及 D的度数，即可证得结论。（2）先证明AOC是等边三角形，求出OA的长，再利解直角三角形求出AD的长。20.已知：如图，A是O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC= OB（1）求证：AB是O的切线；
16、 （2）若ACD=45，OC=2，求弦CD的长 【答案】（1）证明：如图，连接OAOC=BC，AC=OBOC=BC=AC=OAACO是等边三角形O=OCA=60AC=BCCAB=BOCA=CAB+B=2BB=30OAC=60OAB=OAC+CAB=90即OAABAB是O的切线（2）解：作AECD于点EO=60D=O=30ACD=45，AC=OC=2，在RtACE中,CE=AE=D=30AD=2AE=DE=AE=CD=DE+CE=【解析】【分析】（1）要证AB是O的切线，连接OA，只需证明OAAB。先证ACO是等边三角形，得出OAC的度数，再求出CAB的度数，就可求得OAB的度数，从而可证得结论
17、。（2）作AECD于点E，利用圆周角定理求出D的度数，再利用解直角三角形就可求出结果。21.如图，P为O外一点，PO交O于C，过O上一点A作弦ABPO于E，若EAC=CAP，求证：PA是O的切线【答案】证明：连接OAOA=OCOCA=OACABPOAEC=90OCA+BAC=90EAC=CAPOAC+CAP=90OAAPPA是O的切线 【解析】【分析】要证PA是O的切线，就需连接OA，证明OAAP。利用等腰三角形的性质证明OCA=OAC，再根据垂直的定义及EAC=CAP，去证明OAC+CAP=90，即可证得结论。22.如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点B作O的切线，与CA的
18、延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P（1）求证：BF=EF； （2）求证：PA是O的切线； （3）若FG=BF，且O的半径长为3 ，求BD和FG的长度 【答案】（1）证明：BC是O的直径，BE是圆O的切线，EBBC.又ADBCADBEBFCDGC，FECGACG是AD的中点DG=AGBF=EF（2）证明：连接AO,AB,BC是O的直径，BAC=90.在RtBAE中，F是斜边BE的中点，AF=FB=EF FBA=FAB又OA=OBABO=BAOBE是O的切线EBO=90EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90OAPAPA是
19、O的切线（3）解：过点F作FHAD于点H，BDAD，FHADFHBC由(2)，可知FBA=BAFBF=AFBF=FGAF=FGAFG是等腰三角形FHADAH=GHDG=AGDG=2HG即FHBD,BFAD,FBD=90四边形BDHF是矩形，BD=FH FHBCHFGDCG，O的半径长为BC=解之：BD=BD=FH=CF=3FG.在RtFBC中，CF=3FG，BF=FG，CF2=BF2+BC2(3FG)2=FG2+()2解之：FG=3(取正值)FG=3 【解析】【分析】（1）根据切线判定可证得EBBC，由ADBC，证明ADBE，利用相似三角形的判定可得出BFCDGC，FECGAC，由G是AD的中点，找中间比就可得出结论。（2）要证PA是 O的切线，就是要证明FAO=90，连接AO，AB，根据第1的结论和BE是圆O的切线和直角三角形的性质，就可得出结论。（3）过点F作FHAD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度。
