1、5.2.2 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和新课程标准素养风向标1.探索并掌握等差数列的前n项和公式2.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an1.体会等差数列前n项和公式的推导过程(数学抽象)2.掌握等差数列前n项和公式,并应用其解决实际问题(数学运算)3.熟练掌握等差数列五个量a1,d,n,an,Sn间的关系(数学运算)主题 等差数列的前n项和1.如图,某仓库堆放着一堆钢管,最上面一层有4根钢管,下面每层都比上面一层多一根,最下面一层有9根,怎样计算这堆钢管的总数?提示:把同样多的钢管倒放在一起,如图,先算出每层的根数每层都是13根;再计算层数共6层;所以共根.基础预习初探2.
2、问题1中的计算方法称为“倒序相加法”,利用“倒序相加法”及等差数列的性质,你能求首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和Sn吗?提示:根据等差数列的性质有:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,又Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,+得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an),所以将an=a1+(n-1)d代入上式得:结论:等差数列的前n项和公式:已知量a1,an,na1,d,n前n项和公式【对点练】1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,
3、则公差d=()A.7B.3C.2D.6【解析】选B.由S2=4,S4=20,得2a1+d=4,4a1+6d=20,所以d=3.2.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176【解析】选B.因为an是等差数列,所以a1+a11=a4+a8=2a6=16a6=8,则该数列的前11项和S11=11a6=88.3.若等差数列an的通项公式为an=2n,则Sn=_.【解析】由题意知a1=2,d=2,所以Sn=na1+2=n2+n.答案:n2+n核心互动探究探究点一 等差数列前n项和的计算【典例1】(1)(2019江苏高考)已知数列an(
4、nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是_.(2)(2020全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=_.【思维导引】(1)根据a2a5+a8=0,S9=27建立方程组求出a1,d,再利用前n项和公式求S8.(2)根据题意求公差d,再由等差数列的前n项和公式求S10【解析】(1)由题意可得:解得:则S8=8a1+d=-40+282=16.答案:16(2)设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+5d=2,整理可得:6d=6,解得
5、:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+,nN*,可得:所以S10=25.答案:25【类题通法】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.(2)等差数列中基本计算的两个技巧利用基本量求值.利用等差数列的性质解题.【定向训练】已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=_;Sn=_.【解析】设公差为d,则由S2=a3得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=
6、,故a2=a1+d=1,答案:1探究点二 等差数列前n项和性质及应用【典例2】(1)已知等差数列an的前n项和为Sn且a9=5,则S17=()A.75B.85C.95D.105(2)已知等差数列an的前n项和记为Sn,若S4=8,S8=4,则S12=_,S6=_.【思维导引】(1)利用性质S2n-1=(2n-1)an求解.(2)利用性质Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列求解.【解析】(1)选B.S17=17a9=175=85.(2)设等差数列an的公差为d.因为等差数列中S4,S8-S4,S12-S8仍成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),2(4-8)=8+(S
7、12-4),所以S12=-12,因为S4=8,S8=4,所以S6=6a1+65d=.答案:-12【类题通法】与等差数列前n项和Sn有关的性质(1)数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是公差为n2d的等差数列.(2)数列为等差数列.(3)等差数列an前n项和公式为,由等差数列的性质可得:【知识拓展】奇数项和与偶数项和的性质(1)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,(2)若等差数列的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1,S偶-S奇=-an+1,【定向训练】1.在等差数列an中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为()A
8、.9B.12C.16 D.17【解析】选A.由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,也构成等差数列,不妨设为bn,且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.2.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,求该数列的公差d.【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得又因为S偶-S奇=6d,所以探究点三 等差数列前n项和的实际应用【典例3】甲、乙两物体分别从相距70 m的两处相向运动,甲第一分钟运动2 m,以后
9、每分钟比前一分钟多运动1 m,乙每分钟运动5 m.(1)甲、乙几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折回,甲继续每分钟比前一分钟多运动1 m,乙继续每分钟运动5 m,那么开始运动后几分钟第二次相遇?【思维导引】(1)甲各分钟运动距离依次组成公差为1的等差数列,乙是匀速运动,第一次相遇甲乙运动距离之和是70 m.(2)第二次相遇甲乙运动距离之和是370 m.【解析】把物理问题转化为等差数列求项数问题.(1)设n分钟后第一次相遇,依题意有2n+5n=70,整理,得n2+13n-140=0,解得n=7,n=-20(舍去).所以7分钟后第一次相遇.(2)设第m分钟后第二次相遇,依题意,
10、有2m+5m=370,整理,得m2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).所以开始运动后15分钟第二次相遇.【类题通法】解数列应用题的四个关注点(1)认真审题,准确理解题意,认真筛选,收集和处理问题中提供的信息,善于把问题数学化.(2)弄清题目中的主要已知事项,明确所求的结论是什么.(3)将实际问题抽象为数列问题,将已知与所求联系起来,根据题意引出满足题意的数学关系式.(4)在解数列应用题时,一般要经历“设列解答”四个环节.【定向训练】在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九
11、十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行()A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里【解析】选D.设良马每天所行路程为an,则an是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为bn,则bn是以97为首项,以-为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn=21 125,所以103n+13+97n+=2 250,化简得,n2+31n-360=0,解得n=9,A9=1039+13=1 395,B9=2 250-1 395=855,A9-B9=1 395-855=540.【课堂小结】课堂素养达
12、标1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8=()A.18 B.36 C.54D.72【解析】选D.由a4=18-a5,得a4+a5=18,所以S8=4(a4+a5)=72.2.若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于()A.12B.13C.14D.15【解析】选B.因为S5=5a3=25,所以a3=5,所以d=a3-a2=5-3=2,所以a7=a2+5d=3+10=13.故选B.3.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于_.【解析】因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-
13、S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.答案:454.设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=_.【解析】设an的公差为d,因为a4=a1+3d,且a1=1,a4=7,所以d=2.所以S5=5a1+d=5+54=25.答案:255.在等差数列an中(1)已知a6=10,S5=5,求a8;(2)已知a2+a4=,求S5.【解析】(1)方法一:因为a6=10,S5=5,所以所以a8=a6+2d=16.方法二:因为S6=S5+a6=15,所以15=,即3(a1+10)=15.所以a1=-5,d=所以a8=a6+2d=16.(2)方法一:a2+a4=a1+d+a1+3d=,所以a1+2d=.所以S5=5a1+5(5-1)d=5a1+25d=5(a1+2d)=5 =24.方法二:a2+a4=a1+a5,所以a1+a5=.因为所以本课结束
