1、第22章 相似形类型之一比例线段与比例性质1如果x(xy)35，那么xy等于()A. B. C. D. 2如图22X1，直线l1l2l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.若DE3，EF6，AB4，则AC的长是()A6 B8 C9 D12图22X13如图22X2，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DFFC等于()A14 B13 C12 D11图22X24如图22X3，在ABC中，AMMD41，BDDC23，求AEEC的值图22X3类型之二相似三角形的判定与性质5如图22X4，在大小
2、为44的正方形网格中，是相似三角形的是()图22X4A和 B和C和 D和6如果两个相似三角形的面积比是12，那么它们的周长比是()A12 B14 C1 D217在ABC与ABC中，有下列条件：(1)；(2)；(3)AA；(4)CC.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABCABC的共有()A1组 B2组 C3组 D4组8如图22X5，在直角梯形ABCD中，AB7，AD2，BC3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有()A1个 B2个 C3个 D4个图22X592019泰安如图22X6，ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边
3、上的任意一点(不与点B，C重合)，且APD60，PD交AB于点D，设BPx，BDy，则y关于x的函数图象大致是()图22X6图22X7102019宿州二模在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则SMODSCOB_11如图22X8，在矩形ABCD中，AB10 cm，AD20 cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1 cm/s，小虫Q的速度为2 cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？图22X812如图22X9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点
4、B叠在折痕线上，得到ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.(1)求证：PBEQAB.(2)你认为PBE和BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由图22X9类型之三相似三角形的实际应用13如图22X10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC3米，CA1米，则树的高度为()A3米 B4米C4.5米 D6米图22X1014如图22X11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上
5、选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS60 m，ST120 m，QR80 m，则河的宽度PQ为()A40 m B60 mC120 m D180 m图22X1115如图22X12，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2 m，旗杆底部D与点C的水平距离为12 m若小军的眼睛距离地面的高度为1.5 m(即AB1.5 m)，则旗杆的高度为_m. 图22X1216如图22X13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调
6、整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE0.5米，EF0.25米，且测点D到地面的距离DG1.5米，到旗杆的水平距离DC25米，求旗杆AB的高度图22X13类型之四位似图形的性质及作法17如图22X14，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，那么点B的坐标是()A(2，3) B(2，3)C(3，2)或(2，3) D(2，3)或(2，3)图22X1418如图22X15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的
7、坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是_图22X15192019包河区二模如图22X16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形ABCD；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.图22X16类型之五阅读理解型的相似问题20如图22X17(a)，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点(1)如果ABC是锐角三角形，点P为ABC的费马点
8、，且ABC60.求证：ABPBCP；若PA3，PC4，则PB_(2)如图(b)，已知ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作ABE和ACD，ABE和ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.求CPD的度数；求证：点P为ABC的费马点图22X17212019宁波从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图22X18，在ABC中，CD为ACB的平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的完美分割线；(2)在A
9、BC中，若A48，CD是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数；(3)如图22X18，ABC中，AC2，BC，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长图22X18类型之六数学活动22类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图22X19，在ABCD中，E是BC边的中点，F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若3，求的值(1)尝试探究在图22X19中，过点E作EHAB，交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，的值是_(2)类比延伸如图22X1
10、9，在原题的条件下，若m(m0)，则的值是_(用含m的代数式表示)，试写出解答过程(3)拓展迁移如图22X19，四边形ABCD中，DCAB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若a，b(a0，b0)，则的值是_(用含a，b的代数式表示)图22X191D解析 x(xy)35，5x3x3y，整理，得2x3y，xy32.2D解析 l1l2l3，即.BC8，ACABBC12.故选D.3C解析 在ABCD中，ABCD，则DFEBAE，.O为对角线的交点，DOBO.又E为OD的中点，DEBD，则DEBE13，DFAB13.CDAB，DFCD13，DFFC12.4解：如图，过点D作DF BE交AC
11、于点F，则EFFCBDDC，AMMDAEEF.BDDC23，EFFC23.设EF2a，则CF3a.AMMD41，AEEF41，AE8a，AEEC8a5a85.5C6C解析 两个相似三角形的面积比是12，这两个相似三角形的相似比是1，它们的周长比是1.故选C.7C解析 共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似8C解析 当DAPCBP时，ADAPBCBP，即，解得AP；当DAPPBC时，ADAPBPBC，即，解得AP1或AP6.综上可得，这样的点P有3个9C
12、解析 ABC是等边三角形，BC60.又BPDAPDCCAP，APD60，BPDCAP，BPDCAP，BPACBDPC.ABC的边长为4，BPx，BDy，x4y(4x)，yx2x.故选C.1049或19解析 已知M，N是AD边上的三等分点(1)当时，如图所示四边形ABCD是平行四边形，ADBC，MODCOB，SMODSCOB()249.(2)当时，如图所示四边形ABCD是平行四边形，ADBC，MODCOB，SMODSCOB()219.故答案为49或19.11解：设它们同时出发t s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似，则APt cm，BQ2t cm，PB(10t)cm.
13、(1)当PBQADC时，有，即，解得t2；(2)当PBQCDA时，有，即，解得t5.综上可得，当它们同时出发2 s或5 s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似12解：(1)证明：PBEABQ1809090，PBEPEB90，ABQPEB.又BPEAQB90，PBEQAB.(2)相似证明：PBEQAB，.由折叠可知BQPB，即.又ABEBPE90，PBEBAE.13D14C解析 RQPS，TSPS，RQTS，PQRPST，即，PQ120(m)故选C.159解析 由题意可得AB1.5 m，BC2 m，DC12 m.易得ABCEDC，则，即，解得ED9.故答案为9.16解：
14、ADCFDE，ACDFED90，ACDFED，即，解得AC12.5.ABBG，DGBG，DCAB，ABGBGDDCB90，四边形BGDC是矩形，BCDG1.5，ABACBC12.51.514(米)答：旗杆AB的高度是14米17D解析 矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，矩形OABC矩形OABC.矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的，矩形OABC与矩形OABC的相似比为12.点B的坐标为(4，6)，点B的坐标是(2，3)或(2，3)故选D.18(2，0)或(，)解析 当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点设直线CF所对应的函数表达式为ykxb，将C(4，2)，F(1
15、，1)代入，得解得即yx.令y0，得x2，点O的坐标是(2，0)当位似中心点O在两个正方形之间时，可求得直线OC所对应的函数表达式为yx，直线DE所对应的函数表达式为yx1.联立得解得即点O的坐标是(，)综上可知，点O的坐标为(2，0)或(，)19解：(1)如图，四边形ABCD即为所求(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求20解：(1)证明：PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC.又APBBPC120，ABPBCP.ABPBCP，PB2PAPC12，PB2 .(2)如图，ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAEBACCADBAC
16、，即EACBAD.在ACE与ADB中，ACEADB，12.34，CPD560.证明：如图，连接AP，设AC与BD交于点F.易证ADFPCF，.又AFPCFD，AFPDFC，APFDCF 60.APCCPDAPF6060120.同理可得BPA120，BPC360BPAAPC120，点P为ABC的费马点21解：(1)证明：如图.A40，B60，ACB80，ABC不是等腰三角形CD平分ACB，ACDBCDACB40，从而ACDA40，ACD为等腰三角形BCDA40，CBDABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线(2)(i)当ADCD时，如图，ACDA48.BDCBCA，BCDA48，ACBAC
17、DBCD484896.(ii)当ADAC时，如图，ACDADC66.BDCBCA，BCDA48，ACBACDBCD6648114.(iii)当ACCD时，如图，ADCA48.BDCBCA，BCDA48.ADC应大于BCD，此种情况不存在综上可知ACB的度数为96或114.(3)由已知得ACAD2.BCDBAC，.设BDx，从而，即()2x(x2)x0，x1，即BD1.BCDBAC，即，CD2.22解析 (1)体现了“特殊”的情形，3是一个确定的数值如图a，过点E作AB的平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段统一用EH来表示，即可求得比值(2)体现了“一般”的情形，m不再是一个确定的数值，但(1)问中的方法仍适用，如图b所示(3)体现了“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的方法推广转化到梯形中，如图c所示解：(1)AB3EHCG2EH(2)过点E作EHAB，交BG于点H，则ABFEHF，m，则ABmEH，CDmEH.易得EH为BCG的中位线，则CG2EH.(3)ab
