1、广西桂林市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=1，2，3，B=2，3，4，5，则AB=（）A2，3B1，4，5C2，3，4D1，2，3，4，52（5分）函数f（x）=lg（x1）的定义域为（）A（0，+）B（，0）C（1，+）D（，1）3（5分）过两点M（4，1），N（0，1）的直线的斜率为（）A2BCD4（5分）已知球的表面积为8，则它的半径为（）AB1CD25（5分）函数f（x）=x2+lnx的零点所在的一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）6（5分）当x0时，函数f（x）=（2a1）x的
2、值恒大于1，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，2）C（1，+）D（，1）7（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）Ay=x2By=x1Cy=xDy=x38（5分）下面不等式成立的是（）A1.72.51.73Blog0.23log0.25C1.73.10.93.1Dlog30.2log0.20.39（5分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A30B45C60D9010（5分）一个空间几何体的三视图及尺寸大小如图所示，若侧视图为正三角形，则它的体积是（）A24B8C32D1611（5分）设m，n是两条不同的
3、直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则12（5分）已知函数f（x）=ex（x0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）点A（1，1）到直线xy+2=0的距离为14（5分）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x0，+）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线CB1与平面BDD1B1所成的角的大小为16（5分）在大小为60的二面角1
4、中，已知AB，CD，且ABl于B，CDl于D，若AB=CD=1，BD=2，则AC的长为三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）计算：（1）（2）+0.027；（2）18（12分）设直线l1：x+3y+1=0，l2：xy7=0的交点为点P（1）求点P的坐标；（2）求过点P且与l1垂直的直线l的方程19（12分）已知函数f（x）=logax（a0，且a1）（1）若函数f（x）在区间，2上的最大值为2，求a的值；（2）若0a1，求使得f（2x1）0的x的取值范围20（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关
5、系是Q=t+40（0t30，tN），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD22（12分）已知函数（a1），求证：（1）函数f（x）在（1，+）上为增函数；（2）方程f（x）=0没有负数根广西桂林市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=1，2，3，B=2，3，4，5，则AB=（）A2，3
6、B1，4，5C2，3，4D1，2，3，4，5考点：交集及其运算 专题：集合分析：由交集的运算和题意直接求出AB解答：解：因为集合A=1，2，3，B=2，3，4，5，所以AB=2，3，故选：A点评：本题考查交集及其运算，属于基础题2（5分）函数f（x）=lg（x1）的定义域为（）A（0，+）B（，0）C（1，+）D（，1）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得 x10，解得x1，从而得到函数的定义域解答：解：由函数f（x）=lg（x1）可得 x10，解得x1，故函数f（x）=lg（x1）的定义域为 （1，+），故选：C点评：本题主要考查求对数函数的定义域，属于
7、基础题3（5分）过两点M（4，1），N（0，1）的直线的斜率为（）A2BCD考点：直线的斜率 专题：直线与圆分析：利用斜率计算公式即可得出解答：解：过两点M（4，1），N（0，1）的直线的斜率k=故选：B点评：本题考查了直线的斜率计算公式，属于基础题4（5分）已知球的表面积为8，则它的半径为（）AB1CD2考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由球的表面积的计算公式能求出这个球的半径解答：解：设这个球的半径这R，则一个球的表面积为8，4R2=8，解得R=，故选：C点评：本题考查球的表面积公式，解题的关键是记清球的表面积公式5（5分）函数f（x）=x2+lnx的零点所在的
8、一个区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）考点：函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意，函数f（x）=x2+lnx在定义域上单调递增，再求端点函数值即可解答：解：函数f（x）=x2+lnx在定义域上单调递增，f（1）=120，f（2）=2+ln220，故函数f（x）=x2+lnx的零点所在区间是（1，2）；故选B点评：本题考查了函数的零点的判断，属于基础题6（5分）当x0时，函数f（x）=（2a1）x的值恒大于1，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（1，2）C（1，+）D（，1）考点：指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应
9、用分析：由题意和指数函数的性质列出不等式，求出实数a的取值范围解答：解：因为当x0时，函数f（x）=（2a1）x的值恒大于1，所以02a11，解得a1，则实数a的取值范围是（，1），故选：A点评：本题考查利用指数函数的性质求参数的范围，属于基础题7（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）Ay=x2By=x1Cy=xDy=x3考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，反比例函数在其定义域上的单调性，以及单调性的定义即可找出正确选项解答：解：y=x2是偶函数；反比例函数y=x1在其定义域上没有单调
10、性；的定义域为0，+），不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；y=x3是奇函数，根据单调性的定义知该函数在其定义域上是增函数；D正确故选D点评：考查奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，函数单调性的定义，以及反比例函数在其定义域上的单调性8（5分）下面不等式成立的是（）A1.72.51.73Blog0.23log0.25C1.73.10.93.1Dlog30.2log0.20.3考点：对数值大小的比较；指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：A.1.72.51.73，因此不正确；Blog0.23log0.25，因此不正确；C.1.7
11、3.110.93.1，因此不正确；Dlog30.20log0.20.3，正确故选：D点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题9（5分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）A30B45C60D90考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：由CC1BB1，得D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成的角的大小解答：解：CC1BB1，D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，AB=BC=，AA1=，B1D1=，BB1B1D1，tanD1BB1=1，D1BB1=45异面直线BD1与C
12、C1所成的角为45故选：B点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养10（5分）一个空间几何体的三视图及尺寸大小如图所示，若侧视图为正三角形，则它的体积是（）A24B8C32D16考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为4，正三棱柱的高为6，代入棱柱体积公式，即可得到答案解答：解：由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根
13、据左视图是边长为4，正三棱柱的高为6，所求几何体的体积V=Sh=24，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键11（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n
14、，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得解答：解：选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选D点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题12（5分）已知函数f（x）=ex（x0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y
15、轴对称的点，就是f（x）=g（x）有解，也就是函数y=f（x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（x）=（x0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题解答：解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（x）=g（x）有解，也就是函数y=f（x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（x）=（x0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，a=，a，故选：B点评：本
16、题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）点A（1，1）到直线xy+2=0的距离为考点：点到直线的距离公式 专题：直线与圆分析：利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：由点到直线的距离公式可得： =故答案为：点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题14（5分）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x0，+）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=3考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由奇函数的性质得f（1）=f（1），利用已知的解析式即可求值解答：解：因为f（x）是定义域在R
17、上的奇函数，所以f（1）=f（1），又当x0，+）时，f（x）=x2+2x，则f（1）=1+2=3，即f（1）=3，故答案为：3点评：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，以及转化思想，属于基础题15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线CB1与平面BDD1B1所成的角的大小为30考点：直线与平面所成的角 专题：空间角分析：根据线面角的定义先确定B1OC为所求的线面角，即可得到结论解答：解：连接AC，BD，交于O，连接B1O，则AC平面BDD1B1，则B1OC为直线CB1与平面BDD1B1所成的角，设正方体的棱长为1，则AC=，OC=，CB1=，sinB1OC=，B1OC=30，故答案为
18、：30点评：本题主要考查直线和平面所成角的求解，根据定义先求出线面角是解决本题的关键16（5分）在大小为60的二面角1中，已知AB，CD，且ABl于B，CDl于D，若AB=CD=1，BD=2，则AC的长为考点：与二面角有关的立体几何综合题 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，利用数量积运算性质可得=+，由ABl于B，CDl于D，可得=0又在大小为60的二面角1中，可得=11cos120，代入计算即可得出解答：解：如图所示，=+，ABl于B，CDl于D，=0，又在大小为60的二面角1中，=11cos120=，=1+22+1=5，=故答案为：点评：本题考查了向量的多边形法则、数量积运算性质、向
19、量垂直与数量积的关系、二面角的应用，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）计算：（1）（2）+0.027；（2）考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：（1）利用指数的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出解答：解：（1）原式=+=5（2）原式=2lg102=4点评：本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题18（12分）设直线l1：x+3y+1=0，l2：xy7=0的交点为点P（1）求点P的坐标；（2）求过点P且与l1垂直的直线l的方程考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直
20、线的交点坐标 专题：直线与圆分析：（1）联立，解得即可（2）设与l1垂直的直线l的方程为3xy+m=0，把P（5，2）代入解出m即可解答：解：（1）联立，解得，P（5，2）（2）设与l1垂直的直线l的方程为3xy+m=0，把P（5，2）代入可得：15+2+m=0，解得m=17与l1垂直的直线l的方程为3xy17=0点评：本题考查了直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题19（12分）已知函数f（x）=logax（a0，且a1）（1）若函数f（x）在区间，2上的最大值为2，求a的值；（2）若0a1，求使得f（2x1）0的x的取值范围考点：对数函数的图像与性质；指、对数不等式的解法 专
21、题：函数的性质及应用分析：（1）分类讨论得出当a1时，loga2=2，当0a1时，loga=2，（2）转化得出loga（2x1）loga1，又0a1，则02x11，求解即可解答：解：（1）当a1时，f（x）=logax在区间，2上是增函数因此，fmax（x）=loga2，则loga2=2，解得：a=，当0a1时，f（x）=logax在区间，2上是减函数因此，fmax（x）=loga，则loga=2，解得：a=，综上：a=或a=（2）不等式f（2x1）0，即loga（2x1）loga1，又0a1，则02x11，即12x2，所以0x1点评：本题考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，方程思想，难度
22、不大，属于中档题20（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=t+40（0t30，tN），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？考点：分段函数的应用 专题：计算题；应用题；函数的性质及应用分析：设日销售金额为y（元），则y=pQ，对每段化简和配方，根据二次函数的性质，分别求解每段函数的最大值，由此能求出商品的日销售额y的最大值解答：解：设日销售金额为y（元），则y=pQ，y=，当0t25，tN，t=10时，ymax=900（元）；当25t30，tN，t=25时，
23、ymax=1125（元）由1125900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大点评：本题考查分段函数在生产实际中的应用，考查二次函数的最值问题和运算求解能力，属于中档题21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：立体几何分析：（1）要证直线EF平面PCD，只需证明EFPD，EF不在平面PCD中，PD平面PCD即可（2）连接BD，证明BFAD说明平面PAD平面ABCD=AD，推出BF平面PA
24、D；然后证明平面BEF平面PAD解答：证明：（1）在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD又因为EF不在平面PCD中，PD平面PCD所以直线EF平面PCD（2）连接BD因为AB=AD，BAD=60所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因为BF平面EBF，所以平面BEF平面PAD点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型22（12分）已知函数（a1），求证：（1）函数f（x）在（1，+）上为增函数；（2）
25、方程f（x）=0没有负数根考点：函数单调性的判断与证明；函数与方程的综合运用 专题：证明题分析：（1）证明函数的单调性，一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义；（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论解答：证明：（1）设1x1x2，则=，1x1x2，x1+10，x2+10，x1x20，；1x1x2，且a1，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在（1，+）上为增函数；（2）假设x0是方程f（x）=0的负数根，且x01，则，即，当1x00时，0x0+11，而由a1知式不成立；当x01时，x0+10，而式不成立综上所述，方程f（x）=0没有负数根点评：（1）函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1x2，比较f（x1），f（x2）的大小 （当f（x1）f（x2）则是增函数，当f（x1）f（x2）则是减函数）；（2）方程的根，就是指使方程成立的未知数的值对于结论是否定形式的命题，往往用反证法证明
