1、近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常以棱柱、棱锥、正方体和简单组合体为载体，考查平行与垂直的证明、三视图和空间角以及多面体的表面积和体积等计算，题型一般是一道小题(选择题或填空题)和一道解答题，分值在17分左右第9讲 空间几何体1考题展望本节内容空间几何体(含组合体)的三视图、面积与体积的计算是高考考查的热点，侧重考查三视图及表面积和体积的计算，大多以选择题和填空题的形式出现，分值为5分，试题难度中档偏易2高考真题 考题1(1)(2012 江西)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A.112B5C.92D4(2)(2012 湖北)已知某几何体的三视图如图所示
2、，则该几何体的体积为()A.83B3C.103D6【解析】(1)由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形、高为 1 的直棱柱，底面积为 12212 2 24 V414.故选 D.(2)V122121223.故选 B.【命题立意】本题考查由三视图还原几何体的直观图，并求几何体的体积，主要考查学生的空间想象能力【解析】(1)由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形、高为 1 的直棱柱，底面积为 12212 2 24 V414.故选 D.(2)V122121223.故选 B.【命题立意】本题考查由三视图还原几何体的直观图，并求几何体的体积，主要考查学生的空间想象能力考题2(2012 江 西)如
3、右图，已知正四棱锥 SABCD所有棱长都为 1，点 E 是侧棱SC 上一动点，过点 E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分记 SEx(0 x1)，截面下面部分的体积为 V(x)，则函数 yV(x)的图象大致为()【解析】(1)当 0 x12时，过 E 点的截面为五边形 EFGHI(如图 1 所示)，连接 FI，由 SC 与该截面垂直知，SCEF，SCEI，EFEISEtan60 3x，SI2SE2x，又 AHSI2x IHFGBI12x，FIGH 2AH2 2x，五边形 EFGHI 的面积 SFGGH12FIEF2（12FI）22 2x3 2x2，CE1x V(x)VCEFGHI2V
4、IBHC13(2 2x3 2x2)CE213121(12x)22(12x)2x3 2x2 26，其图象不可能是一条线段，故排除 C，D.(2)当12x1 时，过 E 点的截面为三角形，如图 2，设此三角形为EFG，则 EGEFECtan603(1x)，CGCF2CE2(1x)，作SO底面 ABCD，可知 CO 22，SCO45，三棱锥 EFGC 底面 FGC 上的高 hECsin45 22(1x)，V(x)1312CGCFh 23(1x)3，V(x)2(1x)2，又显然 V(x)2(1x)2 在区间(12，1)上单调递增，V(x)0(x(12，1)，函数 V(x)23(1x)3 在区间(12，
5、1)上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除 B，应选 A.【命题立意】本题综合考查了线面垂直的性质，棱锥的体积公式等，同时考查了函数的思想，以及分割法、导数法等重要的解题方法通过计算，求出V(x)的解析式，再结合排除法和导数法确定yV(x)的图象考题3(2012 湖北)我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d的一个近似公式 d3 169 V.人们还用过一些类似的近似公式根据 3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是()Ad3 169 VBd3 2VCd3 300157VDd3
6、 2111V【解析】V43R3，2Rd3 6V，考虑到 2R 与标准值最接近，通过计算得 6169 0.132 08，620.090 1，63001570.001 0，621110.000 8，因此最接近的为 D 选项【命题立意】此题主要考查球的体积公式，涉及球的直径最接近值的推理，需要考生对数据进行严密的计算，运算量较大【解析】V43R3，2Rd3 6V，考虑到 2R 与标准值最接近，通过计算得 6169 0.132 08，620.090 1，63001570.001 0，621110.000 8，因此最接近的为 D 选项【命题立意】此题主要考查球的体积公式，涉及球的直径最接近值的推理，需要
7、考生对数据进行严密的计算，运算量较大1空间几何体的视图、表面积与体积的主要知识点有：三视图，直观图，球、锥体、柱体、台体的表面积与体积等2三视图画法的规则：长对正、宽相等、高平齐3水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，且使xOy45或135.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍然平行于x轴，且其长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中仍然平行于y轴，且其长度变为原来的一半4旋转体的侧面积是指其侧面展开图的面积，因此，要弄清侧面展开图的形状对于多面体的表面积，只需具体研究各面的性
8、质，进而分别计算5计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据已知条件找出相应的底面面积和高；对于简单组合体的体积要通过“割”与“补”化归为简单几何体体积的问题；对于三棱锥，以其任意一个面作为底面，都可以表示其体积6关于球的问题要注意球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形1空间几何体的三视图例1(1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()C【解析】对于A，两个圆柱的组合体符合要求；对于B，一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于D，底面为等腰直角三角形的直三棱柱符合要求，故选C.(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为m3.18
9、9【解析】由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是 6 m，3 m，1 m 的长方体，下面是两个半径均为32 m 的球，其体积为631243(32)3(189)m3.【点评】三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，识读三视图时，既要关注“形”，又要关注“量”【解析】由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是 6 m，3 m，1 m 的长方体，下面是两个半径均为32 m 的球，其体积为631243(32)3(189)m3.【点评】三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，识读三视图时，既要关注“形”，又要关注“量”2空间几何体的表面积与体积例2已知三棱锥 SABC 的
10、所有顶点都在球 O的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22A【解析】在直角三角形 ASC 中，AC1，SAC90，SC2，SA 41 3；同理 SB 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因SACSBC，故 BDSC，故 SC平面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因ASC30，故 AD12SA 32，则ABD 的面积为121AD2（12）2 24，则三棱锥的体积为13 24 2 26.【点评】这是球与锥的组合体，通过球来了解锥的特征，从而求出锥的体积【解析】在直角三角形
11、ASC 中，AC1，SAC90，SC2，SA 41 3；同理 SB 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因SACSBC，故 BDSC，故 SC平面 ABD，且平面 ABD 为等腰三角形，因ASC30，故 AD12SA 32，则ABD 的面积为121AD2（12）2 24，则三棱锥的体积为13 24 2 26.【点评】这是球与锥的组合体，通过球来了解锥的特征，从而求出锥的体积3球的表面积与体积例3(1)某个实心零部件的形状是如右图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的
12、矩形的四棱柱 ABCDA2B2C2D2.证明：直线 B1D1平面 ACC2A2；现需要对该零部件表面进行防腐处理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？【解析】因为四棱柱 ABCDA2B2C2D2 的侧面是全等的矩形，所以 AA2AB，AA2AD，又因为 ABADA，所以 AA2平面 ABCD.连接 BD，因为 BD平面 ABCD，所以 AA2BD.因为底面 ABCD 是正方形，所以 ACBD.根据棱台的定义可知，BD 与 B1D1 共面 又已知平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面 A
13、BCDBD，平面 BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以 B1D1BD.于是由 AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得 AA2B1D1，ACB1D1.又 因 为 AA2 ACA，所 以 B1D1 平面ACC2A2.因为四棱柱 ABCDA2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 S1S四棱柱上底面S四棱柱侧面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因为四棱台 A1B1C1D1ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以 S2S 四棱台下底面S 四棱台侧面(A1B1)2412(ABA1B1)h 等腰梯形的高 202412(1020)13
14、212（2010）2 1 120(cm2)于是该实心零部件的表面积为 SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工处理费为 0.2S0.22 420484(元)【点评】本题中要认识柱与台，了解台与柱的表面积公式(2)如图，已知球 O 的面上四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DAABBC 3，则球 O 的体积等于92【解析】满足题意的 A、B、C、D恰好为如图正方体中的四个顶点，球心O 点为该正方体的中心，2RCD AB2BC2AD2 3，所以 R32，V 球43R392.【点评】半径为 R 的球，其表面积 S4R2，体积 V43R3.【解析】满足题意的 A、B
15、、C、D恰好为如图正方体中的四个顶点，球心O 点为该正方体的中心，2RCD AB2BC2AD2 3，所以 R32，V 球43R392.【点评】半径为 R 的球，其表面积 S4R2，体积 V43R3.备选题例4一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点)(1)求证：EF平面 PBC；(2)求三棱锥 BAEF 的体积【解析】(1)取 PC 的中点 G，连结 EG，GD，则 EG 綊12BC，所以 GE 綊 DF.由已知 FD平面 PDC，DG面 PDC，所以 FDDG.所以四边形 FEGD 为矩形，因为 G 为等腰RtCPD 斜边 PC 的中点，所以 DGPC，又
16、 DGGE，PCEGG，所以 DG平面 PBC.因为 DGEF，所以 EF平面 PBC.(2)VBAEFVEABF13SABFOE 1314a212a 124a3.1与三视图有关的问题，关键是将三视图还原成直观图解题时要注意还原时点、线、面之间的关系，最好在还原后检查直观图与题中的三视图是否吻合2求空间几何体的体积与表面积时，如果是组合体，关键是将组合体合理地分解成几个简单空间几何体；而对于锥、柱、台的体积与表面积，主要是计算底面积与高(斜高)3与球有关的问题一般分为两类：一类是与球的截面有关，这个时候要充分运用由球的半径、截面圆的半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形；另一类是多面体的内切
17、球与外接球，此类问题的关键是弄清球的半径与多面体之间的关系1下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A92 12 B92 18C9 42 D36 18B【解析】由三视图可得该几何体为长方体与球的组合体，故体积为 V32243(32)31892，故选 B.2在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()D【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.3下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()B4一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体
18、积为m3.(6)【解析】此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高为1 的长方体与底面直径为 2，高为 3 的圆锥组合而成的，故 VV 长方体V 圆锥3213 123(6)m3.5一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3，则该正方体的表面积为【解析】43R34 3，R 3.又 3a2R2 3，a2.S 正方体6a224.245一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3，则该正方体的表面积为【解析】43R34 3，R 3.又 3a2R2 3，a2.S 正方体6a224.6如右图，点 O 为正方体 ABCDABCD的中心，点 E为面BBCC的中心，点 F 为 BC
19、的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号)7如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为 20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个几何体的总高度为29 cm【解析】设这个几何体的总高度为 x cm，则由两次不同放置方式没有液体的部分体积相等得：(x20)12(x28)32 x29.8如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F是线段 AB 上的两点，且 DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4 2，DE4.现将A
20、DE，CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合于点 G，得到多面体 CDEFG.(1)求证：平面 DEG平面 CFG；(2)求多面体 CDEFG 的体积解析】(1)因为 DEEF，CFEF，所以四边形 CDEF 为矩形，由 GD5，DE4，得 GE GD2DE23，由 GCBC4 2，CFDE4，得 FG GC2CF24，所以 EF12345，在EFG 中，有 EF2GE2FG2，所以EGGF，又因为CFEF，CFFG，得CF平面EFG，所以 CFEG，所以 EG平面 CFG，即平面 DEG平面 CFG.(2)多面体 CDEFG 即为四棱锥 GCDEF.如右图，在平面 EGF 中
21、，过点 G 作 GHEF 于点 H，则 GHEGGFEF125.因为平面 CDEF平面 EFG，得 GH平面 CDEF，VGCDEF13SCDEFGH16，即多面体 CDEFG 的体积为 16.9如右图，在三棱锥 PABC 中，PAB 是等边三角形，PACPBC90.(1)证明：ABPC；(2)若 PC4，且平面 PAC平面 PBC，求三棱锥 PABC 的体积【解析】(1)因为PAB 是等边三角形，PACPBC90，所以 RtPBCRtPAC，可得 ACBC.如右图，取 AB 的中点D，连接 PD，CD，则 PDAB，CDAB，所以 AB平面 PDC，所以 ABPC.(2)作 BEPC，垂足为 E，连接 AE.因为 RtPBCRtPAC，所以 AEPC，AEBE.由已知，平面 PAC平面 PBC，故AEB90.因为 RtAEBRtPEB，所以 AEPE，所以AEB，PEB，CEB 都是等腰直角三角形 由已知 PC4，得 AEBE2，AEB 的面积 S2.因为 PC平面 AEB，所以三棱锥 PABC 的体积 V13SPC83.
