1、圆锥曲线中的定点、定值问题建议用时：45分钟1(2019扬州二模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：y21，椭圆C2：1(ab0)，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设P为椭圆C2上一点射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：为定值；过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：k1k2为定值解(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，知a2，a2b2c2，得b，因此椭圆C2的标准方程为1.(2)a.当直线OP的斜率不存在时，PA1，PB1，则32.b当直线OP的斜率存在时，设直线OP的
2、方程为ykx，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k21)x24，所以xx，同理x.所以x2x，由题意，知xP与xA同号，xA，xB互为相反数，所以xPxA，xAxB，从而32.所以32，为定值设P(x0，y0)，则直线l1的方程为yy0k1(xx0)，即yk1xy0k1x0，记ty0k1x0，则l1的方程为yk1xt，代入椭圆C1的方程，消去y，得(4k1)x28k1tx4t240，因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点，所以(8k1t)24(4k1)(4t24)0，即4kt210，将ty0k1x0代入上式，整理得，(x4)k2x0y0k1y10，同理可得，(x4)k2x0y0k2y10，所
3、以k1，k2为关于k的方程(x4)k22x0y0ky10的两根，k1k2，又点P(x0，y0)在椭圆C2：1上，所以y2x，所以k1k2，为定值2(2019广州模拟)已知椭圆C：1若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标解由 ，消去y，并整理得：(34k2)x28mkx4(m23)0，由64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(
4、2,0)，且0，即y1y2x1x22(x1x2)40，所以40，整理得：7m216mk4k20，解得m12k，m2，且满足34k2m20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点，定点坐标为.3(2019南昌模拟)已知圆O：x2y24，点F(1,0)，P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点.问：在y轴上是否存在定点Q，使得MQONQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由解(1)设PF的中点为S，切点为
5、T，连接OS，ST，则|OS|SF|OT|2.取F(1,0)，连接FP(图略)，则|FP|FP|2(|OS|SF|)4.所以点P的轨迹是以F，F为焦点、长轴长为4的椭圆，其中a2，c1，所以b2a2c2413.所以曲线C的方程为1.(2)假设存在满足题意的定点Q.设Q(0，m)，当直线的斜率存在时直线MN的方程为ykx，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立得方程组 消去y并整理，得(34k2)x24kx110.由题意知0，x1x2，x1x2.由MQONQO，得直线MQ与直线NQ的斜率之和为0，0，2kx1x2(x1x2)2k0，当k0时，m6，所以存在定点(0,6)，使得MQONQO；当k0时，定点(0,6)也符合题意易知直线MN的斜率不存在时，定点Q(0,6)也符合题意存在符合题意的定点Q，且定点Q的坐标为(0,6)综上，存在定点(0,6)使得MQONQO.
