1、小题压轴专练18立体几何（线面角1）一单选题1正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是ABCD12如图，在矩形中，、分别为边，的中点，沿将折起，点折至处与不重合），若、分别为线段，的中点，则在折起过程中，A可以与垂直B不能同时做到平面且平面C当时，平面D直线、与平面所成角分别为，能够同时取得最大值3正四面体，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是A0BCD4如图，在菱形中，分别是边，的中点，现将沿着对角线翻折，则直线与平面所成角的正切值最大值为ABCD5在正方体中，分别为棱，的中点，为侧面内一个动点若
2、平面，则与平面所成角的正切值的最大值为AB1C2D6已知棱长为2的正四面体，点为上一定点，点为棱上的动点，设与平面所成的角为，则的最小值是ABCD7如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为ABCD8在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是ABCD二多选题9在正方体中，点为线段上一动点，则A对任意的点，都有B三棱锥的体积为定值C当为中点时，异面直线与所成的角最小D当为中点时，直线与平面所成的角最大10已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面下面说
3、法正确的是A直线与平面所成角的正弦值范围为B点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D已知为中点，当的和最小时，为的中点11已知图1中，是正方形各边的中点，分别沿着，把，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则A是正三角形B平面平面C直线与平面所成角的正切值为D当时，多面体的体积为12如图，正三棱柱的侧面是边长为2的正方形、分别是、的中点，则下列结论成立的是A直线与直线是异面直线B直线与平面不平行C直线与直线所成角的余弦值等于D直线与平面所成角的正弦值等于三填
4、空题13如图，在多面体中，已知棱，两两平行，底面，四边形为矩形，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等记直线与底面的所成角为，则的取值范围是14如图，平面外有一点，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为15如图，三棱锥中，点在棱上且，则直线与平面所成的角是16如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为小题压轴专练18立体几何（线面角1）1解：平面绕着旋转，其垂线也绕着旋转，如右图，取中点，连结，则，等价于平面绕着旋转，设正四面体中棱长为2，在中，如右图，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径，绕着圆锥的轴旋转，则，在该四面体绕旋
5、转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是故选：2解：对于，连接，假设，又，平面，而，错误；对于，取，中点，连接，平面平面，平面平面，故能同时做到平面且平面错误；对于，连接，当时，而，与不垂直，即不垂直平面，错误；对于，在以为直径球面上，球心为，轨迹为外接圆与不重合），连接，取中点连接，直线、与平面所成角取得最大值时，点到平面的距离最大正确故选：3解：由正四面体，可得所有棱长都相等点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是反证法：若直线与平面所成角是，则平面则在某一过程必有事实上，在该四面体绕旋转的过程中，与是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线与平面所成角不可能是在
6、该四面体绕旋转的过程中，当时，可得直线与平面所成角为0如图所示的正四面体作平面，垂足为则，三点在同一条直线上设直线与平面所成的角为，可得于是可得在该四面体绕旋转的过程中，可得直线与平面所成角为，综上可得：直线与平面所成角不可能是故选：4解：设菱形的边长为4，当绕旋转时，中点形成的轨迹为：以的四等分点为圆心，以为半径的圆，过引底面的垂线，垂足为，由题意得点在上，为的中点，设，则，结合图得是直线与平面所成角，设，则，由，得或（舍，当时，当，时，当时，直线与平面所成角的正切值最大值为故选：5解：如图，取中点，连结，平面平面，由平面平行性质得必在线段上，平面，是直线与平面所成角，只要最小，则此角的正切
7、值最大，只要，设正方体中棱长为2，则，由面积法得，与平面所成角的正切值的最大值为：故选：6解：棱长为2的正四面体，点为上一定点，设，则，设到平面的距离为，则，解得，当时，的最大值为，此时的最小值为：故选：7解：连结因为平面所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线过点作交于点，交于点，则，连结，则平行四边形即为截面则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意故故选：8解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，0，2，2，2，2，设，在正方体中，因为平面，所以，又，
8、所以平面，即是平面 的法向量，则，因为，所以故选：9解：连接，在正方体中，底面正方形中，又平面，平面，则，又，所以平面，又平面，则，同理可证且，则平面，又点在上，则平面，故，故选项正确；设点到平面的距离为，由等体积法，因为平面，所以，则为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确；在上取点，使得，因为，且，所以，且，则四边形为平行四边形，又平面，又平面，则，故四边形为矩形，过作交，分别于点，又平面，平面，则，又为与所成的角，又因为，则为与所成的角，设为，设正方体的棱长为1，则，则，当时，因为，所以，故当，即时，取最小值，则取最小值，这时与重合，当时，与重合，此时，综上所述，当与重合时，异面直线与所
9、成的角最小，故选项错误；当为的中点时，为的中点，为的中点，又因为与平面所成的角为，设，则，又，故当时，取得最小值，则取得最大值，故最大，所以当为中点时，直线与平面所成的角最大，故选项正确故选：10解：对于选项，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则点，0，、，2，设点，2，平面，则为平面的一个法向量，且，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确；对于选项，当与重合时，连接、，在正方体中，平面，平面，四边形是正方形，则，平面，平面，同理可证，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为设、分别为棱、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，
10、面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；对于选项，设平面交棱于点，0，点，2，平面，平面，即，得，0，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，1，而，且，由空间中两点间的距离公式可得，所以，四边形为等腰梯形，选项正确；对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、三点共线，所以，点不是棱的中点，选项错误故选：11解：取，的中点，连结，在图1中，因为，是正方形各边的中点，则，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，所以，故四边形是边长为的正方
11、形，因为，分别为，的中点，则且，所以四边形为矩形，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，对于选项，由空间中两点间的距离公式可得，所以是正三角形，故选项正确；对于选项，设平面的法向量为，则由，取，则，设平面的法向量为，则有，取，则，所以，所以平面与平面不垂直，故选项错误；对于选项，设直线与平面所成的角为，则，所以，故，故选项正确；对于选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则，分别为，的中点，因为，即，则，长方体的体积为，因此多面体的体积为，故选项错误故选：12解：在中，平面，平面，由异面直线判定定理得直线与直线是异面直线，故正确；在中，由题意知正三棱柱的
12、所有棱长都为2，是边长为2的正三角形，且，且，平面平面，平面平面，平面，取中点，连结，则在正方形中，以为坐标原点，直线、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，0，0，0，0，2，2，1，则，0，2，1，根据向量共面定理，可知与、共面，平面，平面，故错误；在中，0，直线与直线所成角的余弦值为：，故正确；在中，1，平面的法向量，0，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：，故错误故选：13解：由题意，动点满足，与底面所成的角相等底面，连接，可得，又，可得，以原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，则，整理得，令，解得或3，令，解得，即此圆底面内（包括边界）
13、交于一段弧，弧的端点分别为距近的线段的三等分点及上距点距离为处，设此两点分别是，如图：根据图形可知，当点与点重合时，直线与底面的所成角最小，当点与点重合时，直线与底面的所成角最大，在直角三角形中，可得，故，即，整理得，即的取值范围是，故答案为：14解：由题意，过点做面于点，连接，则即与平面所成角，点到角的两边，的距离，都等于由面可得，又到角的边的距离，可得，面，所以，同理可证得，又由题设条件可得，从而可得，故是角平分线，在中，由公股定理得，在中，所以又，解得，在中，由公股定理解得，故答案为15解：由，可得，即，把底面补形为矩形，连接，由，得平面，平面，则，在中，由，得，则，即，可得平面，在平面中，过作，则平面，连接，则为直线与平面所成的角，且，得直线与平面所成的角是故答案为：16解：设直线过点且垂直于，则与都与直线夹角为，连结，由题意得是等边三角形，取中点，由题意得可以承担直线的角色，但同时与直线、夹角为相等的直线，最小也要，此时直线是唯一的，由题意知与直线（直线的余弦值恰为与平面所成角的正弦， 设正方体的棱长为2，则，设与平面所成角为，则，与平面所成角的余弦值为：故答案为：声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/28 15:16:54；用户：尹丽娜；邮箱：13603210371；学号：19839377第26页（共26页）
