1、小题中、难档题专练9双曲线一单选题1如图上半部分为一个油桃园每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远已知，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为A圆B椭圆C抛物线D双曲线2已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为ABCD3已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点若，则A4B6C8D124已知点是双曲线下支上的一点，分别是双曲
2、线的上、下焦点，是的内心，且，则双曲线的离心率为A2BC3D5已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线于点，交双曲线的另一条渐近线于点，在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为ABCD26设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为A4B8C12D167设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在点，使得，则该双曲线的离心率为ABCD8已知点是双曲线的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的个数是点的横坐标为；的周长为；小于；的内切圆半径为A1个B2个C3个D4个二多选题9已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别
3、交于点，若以为直径的圆过点为坐标原点），则下列说法正确的是A双曲线的渐近线方程为B直线的倾斜角为C圆的面积等于D与的面积之比为10已知为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，则下列结论正确的有A若，则双曲线的离心率B若是面积为的正三角形，则C若为双曲线的右顶点，轴，则D若射线与双曲线的一条渐近线交于点，则11瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若的斜率为1，则该双
4、曲线的离心率可以是ABCD12若双曲线，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是A双曲线的离心率为B点的运动轨迹为双曲线的一部分C若，则D存在点，使得三填空题13已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段交双曲线的右支于点，且有，则双曲线的离心率是14已知双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线的交点为，若是线段的中点，则双曲线的离心率为15已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，为线段上一点，且，为线段的中点若为坐标原点），则的渐近线方程为16已知双曲线的左、焦点分别为，过作直线分别
5、与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，若是等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 小题中、难档题专练9双曲线答案1解：设曲线上的点为，由题意可知，可得，的轨迹满足双曲线的定义，所以则曲线为双曲线故选：2解：由题意可知，易得，所以，可得在中，由余弦定理可得，解得双曲线的离心率为：故选：3解：双曲线的，根据双曲线的定义，得，两式相加得，即，又，所以故选：4解：如图，设圆与的三边、分别相切于点、，连接、，则，它们分别是，的高，设的内切圆的半径为，两边约去得：，根据双曲线定义，得，又，得故选：5解：由，可得为的中点，由题意可得，联立，解得，联立，解得，即，得，得故选：6解：设等轴双曲线方程为，将点代入可得
6、，双曲线标准方程为，得，又，即，的面积为，故选：7解：不妨设不妨设右支上点，则，又，联立解得：，代入，得：，故选：8解：设的内心为，连接，双曲线中的，不妨设，由的面积为20，可得，即，由，可得，故正确；由，且，可得，则，则，故正确；由，则的周长为，故正确；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故不正确故选：9解：由题意，解得，双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，故正确；以为直径的圆过点，又渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，则，则直线的倾斜角为或，故错误；根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立，解得，此时，故圆的半径，其面积为，故正确；为与的公共
7、边，与的面积之比等于，即与的面积之比为，故正确故选：10解：对于，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故正确；对于，因为是面积为的正三角形，所以，在，所以，故，故正确；对于，因为为双曲线的右顶点，则，又轴，则，所以，故错误；对于，由，所以，故正确故选：11解：设直线的方程为，令，可得，设直线与轴的交点，双曲线的渐近线方程为，与直线联立，可得，由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得
8、，即为，化为，故正确；当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，故正确；当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为不成立；当，依次为三角形的外心、重心、垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得，即为，化为，故正确故选：12解：双曲线的，则，故正确；设，的内切圆与边切于，与边切于，与边切于，可得，由双曲线的定义可得，即有，又，解得，则的横坐标为，由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，故错误；由，且，解得，同理可得，设直
9、线，直线，解得，设的内切圆的半径为，则，解得，即有，由，则，所以，即有，故正确；设，则，设的内切圆的半径为，则，于是，可得，由，可得，即，又，解得因此，解得，即有点的坐标为故正确故选：13解：由，可得，由双曲线的定义可得，在直角三角形中，在直角三角形中，即为，则故答案为：14解：双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，所以的方程为：，与联立，可得，与的另一条渐近线的交点为，若是线段的中点，可得，代入，可得：，则双曲线的离心率为故答案为：215解：由双曲线的定义，可得，在中，为中位线，可得，又，可得，即，所以双曲线的渐近线方程为故答案为：16解：双曲线的左、焦点分别为，过作直线分别与双曲线及其一条渐近线交于，两点，且，所以是的中点，所以，取中点，连结，设，可得，所以，因为在渐近线上，所以，整理可得，离心率故答案为：
