1、2016年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（理科）（四）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1若非空集合A=x|a3x4a12，B=x|2x12，则能使AB=A，成立的实数a的集合是（）Aa|3a6Ba|1a6Ca|a6D2设复数z=13i，z的共轭复数是，则=（）ABCD13若0x，则xtanx1是xsinx1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）A10B11C13D145已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC
2、=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）ABC2D6按1，3，6，10，15，的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框处可以填入（）Ai2014Bi2014Ci2014Di20147将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（）ABCD8已知直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A12B14C16D189如图
3、，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，且AF1=BF2+，则直线AF1的斜率是（）ABCD110定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（x）0，且2f（x）xf（x）3f（x）对x（0，+）恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（x）6的展开式中常数项为12如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为13设为单位向量，若向量满足|（+）|=|，则|的最大值是14已知函数，若f（a）=f（b）=f（
4、c），a，b，c互不相等，则a+b+c的取值范围是15定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”现给出以下函数，其中是“V型函数”的是（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|成立三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（I）求f（x）的表达式；（
5、）将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围17现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，并决定掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地（）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；（）求这4个人中去A地的人数大于去B的人数的概率；（）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记=XY求随机变量的分布列与数学期望E18如图，在四边形ABCD中，AB=
6、AD=4，BC=CD=，点E为线段AD上的一点现将DCE沿线段EC翻折到PEC（点D与点P重合），使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB（I）证明：BD平面PAC；（）若BAD=60，且点E为线段AD的中点，求二面角PABC的余弦值19已知等差数列an的公差d0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列an的前n项和为Sn（nN+）（1）求an和Sn；（2）若bn=，数列bn的前n项和Tn求证：3Tn2420已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点（）若直线AB过抛物线C的焦点F
7、，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求PCD面积的最小值21已知函数f（x）=xlnxx+1，g（x）=x22lnx1，（）h（x）=4f（x）g（x），试求 h（x）的单调区间；（）若x1时，恒有af（x）g（x），求a的取值范围2016年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（理科）（四）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分共50分在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1若非空集合A=x|a3x4a12，B=x|2x12，则能使AB=A，成立的实数a的集合是（）Aa|3a6Ba|1a6Ca|a6D【考点
8、】交集及其运算【分析】由A与B的交集为A，且A不为空集，求出a的范围即可【解答】解：非空集合A=x|a3x4a12，B=x|2x12，且AB=A，且a34a12，解得：3a6，则a的范围为a|3a6故选：A2设复数z=13i，z的共轭复数是，则=（）ABCD1【考点】复数求模【分析】由复数的代数形式的运算先化简复数，再由模长公式可得【解答】解：z=13i，z的共轭复数是=1+3i，=i，=1故选：D3若0x，则xtanx1是xsinx1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】0x，可得tanxsinx0，于是xsi
9、nx1xtanx1，反之不成立，取x=即可判断出【解答】解：0x，tanxsinx0，xsinx1xtanx1，反之不成立，取x=即可判断出因此xtanx1是xsinx1的必要不充分条件故选：B4若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是（）A10B11C13D14【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x0时，z=|x|+2y化为y=x+z，表示的是斜率为，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+2
10、5=11；当x0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+25=14z=|x|+2y的最大值是14故选：D5已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）ABC2D【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是ABC和A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C在ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在RtO1OA中，用勾
11、股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积SABC=，可得此直三棱柱的体积【解答】解：设ABC和A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1CABC中，cosA=A（0，），A=根据正弦定理，得ABC外接圆半径O1A=1球O的体积为V=，OA=R=RtO1OA中，O1O=2，可得O1O2=2O1O=4直三棱柱ABCA1B1C1的底面积SABC=ABACsin=直三棱柱ABCA1B1C1的体积为SABCO1O2=故选：B6按1，3，6，10，15，的规律给出2014个数，如图是计算这2014个
12、数的和的程序框图，那么框图中判断框处可以填入（）Ai2014Bi2014Ci2014Di2014【考点】程序框图【分析】算法的功能是求S=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+i）的值，根据题意判断跳出循环的i值为2015，从而可得判断框的条件【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+i）的值，给出2014个数，跳出循环的i值为2015，判断框的条件是i2014故选：B7将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”
13、的概率为（）ABCD【考点】组合及组合数公式；等可能事件的概率【分析】根据题意，易得“有效排列”的个数为5，进而由组合数公式，可得“所有的排列”的个数，再根据等可能事件的概率，计算可得答案【解答】解：根据题意，分析可得，“有效排列”的个数为5，再求所有的排列的个数，即从6个位置中，任取3个放白球或黑球，故其数目为C63=20，由等可能事件的概率，所求概率为，故选B8已知直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（）A12B14C16D18【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】由已知圆的方程为（x2）2+y2=1，抛物线
14、y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，因为，有x212x+4=0，由此能够推导出|AB|+|CD|=162=14【解答】解：由已知圆的方程为（x2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|AB|+|CD|=|AD|2，因为，有x212x+4=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=12，则有|AD|=（x1+x2）+4=16，故|AB|+|CD|=162=14，故选B9如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1
15、与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，且AF1=BF2+，则直线AF1的斜率是（）ABCD1【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设直线AF1，BF2的方程分别为x+1=my，x1=myA（x1，y1），B（x2，y2）（y10，y20）联立，化为，可得A的坐标，即可得出|AF1|，同理可得|BF2|即可得出【解答】解：由椭圆=1可得c=1，F1（1，0），F2（1，0），设直线AF1，BF2的方程分别为x+1=my，x1=myA（x1，y1），B（x2，y2）（y10，y20）联立，化为，解得|AF1|=同理可得|BF2|=|AF1|BF2|=，解得m=1故选：D10定义在（0，+）上的函
16、数f（x）满足f（x）0，且2f（x）xf（x）3f（x）对x（0，+）恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】分别构造函数g（x）=，x（0，+），h（x）=，x（0，+），利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：令g（x）=，x（0，+），g（x）=，x（0，+），2f（x）xf（x）3f（x）恒成立，f（x）0，0，g（x）0，函数g（x）在x（0，+）上单调递增，令h（x）=，x（0，+），h（x）=，x（0，+），2f（x）xf（x）3f（x）恒成立，h（x）=0，函数h（x）在x（0，+）上单调递减，综上可得：，故选：B二、填空
17、题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（x）6的展开式中常数项为【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=（）rC6rx62r，令62r=0得r=3，得常数项为C63（）3=故答案为：12如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为12【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断三棱锥的结构特征，根据三视图的数据求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图三棱锥S=ABC，其中SD平面ACB
18、D，四边形ACBD为边长为2的正方形，SD=2，外接球的球心为SC的中点，外接球的半径R=，外接球的表面积S=43=12故答案为：1213设为单位向量，若向量满足|（+）|=|，则|的最大值是2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由向量满足|（+）|=|，可得|（+）|=|+|，即|+|+|，当且仅当时，|+|+|最小值为2【解答】解：向量满足|（+）|=|，|（+）|=|+|，即|+|+|，当且仅当时，|+|+|最小值为2，所以|，所以|的最大值为故答案为：214已知函数，若f（a）=f（b）=f（c），a，b，c互不相等，则a+b+c的取值范围是（2，2015）【考点】分段函
19、数的应用【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，利用数形结合的思想去解决【解答】解：当0x1时，函数f（x）=4x2+4x=4（x）2+1，函数的对称轴为x=当x=1时，由log2014x=1，解得x=2014若a，b，c互不相等，不妨设abc，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0，1c2014，且，即a+b=1，所以a+b+c=1+c，因为1c2014，所以21+c2015，即2a+b+c2015，所以a+b+c的取值范围是（2，2015）故答案为：（2，2015）15定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“
20、V型函数”现给出以下函数，其中是“V型函数”的是（1），（3）（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|2|x1x2|成立【考点】函数恒成立问题【分析】根据V型函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项（1）（3），根据单调性可求出存在正常数M满足条件，而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数M使之满足条件，由此即可得到正确答案【解答】解：对于（1）若f（x）=，则|f（x）|=|=|x|，故对任意的m，都有|f（x）|m|x|，故是V型函数，对于（2）当x0，要使|f（x）|m|x|成立，当x
21、=0时，10，即|2x|m成立，这样的M不存在，故（2）不是V型函数；对于（3），f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）f（x2）|2|x1x2|得到，|f（x）|2|x|成立，存在M20，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立，符合题意故是V型函数；故答案为（1），（3）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（I）求f（x）的表达式；（）将函数f（x）的图象向右平移个单位
22、后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换；复合三角函数的单调性【分析】（）利用三角函数的恒等变换把函数f（x）的解析式化为，根据周期求出=2，从而得到（）将f（x）的图象向右平移个个单位后，得到 y=的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，可得，函数y=g（x）与y=k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数k的取值范围【解答】解：（），由题意知，最小正周期，又，所以=
23、2，（）将f（x）的图象向右平移个个单位后，得到 y=的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，令，g（x）+k=0，在区间上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知或k=1，或k=117现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择，但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，并决定掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地（）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；（）求这4个人中去A地的人数大于去B的人数的概率；（）用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记=XY
24、求随机变量的分布列与数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）用独立重复试验解决本题（）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4，列式求解（）列出的所有可能取值，求出各自概率和分布列【解答】解：（）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为，设“这4个人恰好有i个去B地旅游”为事件Bi（i=0，1，2，3，4）；（）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4（）的所有可能取值为0，3，4P（=0）=P（=3）=P（=4）=P（A2）=的分布列是： 03
25、4PE=18如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，点E为线段AD上的一点现将DCE沿线段EC翻折到PEC（点D与点P重合），使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB（I）证明：BD平面PAC；（）若BAD=60，且点E为线段AD的中点，求二面角PABC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）连结AC，BD交于点O，推导出ABCADC，DAC=BAC，从而ACBD，由此能证明BD平面PAC（）以O为原点，以直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PABC的余弦值【解答
26、】证明：（）连结AC，BD交于点O，在四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=，AC=AC，ABCADC，DAC=BAC，ACBD，又平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC，BD平面PAC解：（）如图，以O为原点，以直线OA，OB分别为x轴，y轴，平面PAC内过O且垂直于直线AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设P（x，o，z），由题意得A（2，0，0），B（0，2，0），C（，0，0），E（，1，0），PE=2，PC=，解得x=，z=，P（，0，），=（，0，），=（2，2，0），设平面PAB的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，），平面=（0，0，1）
27、，设二面角PABC的平面角为，则cos=，二面角PABC的余弦值为19已知等差数列an的公差d0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列an的前n项和为Sn（nN+）（1）求an和Sn；（2）若bn=，数列bn的前n项和Tn求证：3Tn24【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（1）由a1、a4、a13成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式、前n项和公式可得结果；（2）先求出bn，然后分n4，n5两种情况进行讨论求得Tn，由Tn的性质可证；【解答】解：（1）an是等差数列，a1=3，公差为d，a4=3+3d，a13=3+12d，a1、a4、a13成等比数列
28、，（3+3d）2=3（3+12d），整理得d22d=0，差d0，d=2，an=3+（n1）2=2n+1， =n（n+2）（2）Sn3an=n（n+2）3（2n+1）=n24n3=（n2）（n2），nN+，由Sn3an，得n，由Sn3an，得n2+42+5，当n4时，Tn=Sn=n（n+2）；当n5时，Tn=T4+=24+ （）+（）+（）+（）+（）=24+（）=24，Tn24，又数列Tn为递增数列，TnT1=3，3Tn2420已知A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点（）若直线AB过抛物线C的焦
29、点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；（）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求PCD面积的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（）利用直线l1、l2与抛物线C相切，求出l1、l2方程，可得点P坐标，再求出AB的方程，即可得出结论；（）求出C，D的坐标，可得|CD|，表示出PCD面积，利用导数法可求最小值【解答】（）证明：设，（y10y2）易知l1斜率存在，设为k1，则l1方程为由得，由直线l1与抛物线C相切，知于是，l1方程为同理，l2方程为联立l1、l2方程可得点P坐标为，AB方程为，AB过抛物线C的焦点F（1，0）y1=（1），y1y2=4，动点P在一条定直线x=1
30、上；（）解：由（）知，C，D的坐标分别为（4，），D（4，），设（t0），|y1y2|=m，由知，m2t，当且仅当y1+y2=0时等号成立设，则时，f（t）0；时，f（t）0f（t）在区间上为减函数；在区间上为增函数时，f（t）取最小值当y1+y2=0，即，时，PCD面积取最小值21已知函数f（x）=xlnxx+1，g（x）=x22lnx1，（）h（x）=4f（x）g（x），试求 h（x）的单调区间；（）若x1时，恒有af（x）g（x），求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（）利用导数的正负性，求函数的单调区间；（）令构造函数（x）=af（x）g（x），利用导
31、数求出函数的最值，解决恒成立问题，这里要用到二次求导【解答】（）解：h（x）=4f（x）g（x）=4xlnx+2lnxx24x+5，h（x）的定义域为（0，+），则，记h（x）为h（x）的导函数，则，故h（x）在其定义域（0，+）上单调递减，且有h（1）=0，则令h（x）0可得x1，令h（x）0得0x1，故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（）令（x）=af（x）g（x），则有x1时（x）0（x）=axlnx+2lnxaxx2+a+1，记（x）为（x）的导函数，则，因为当x1时，故若a40，即a4，此时（x）0，故（x）在区间1，+）上单调递减，当x1时有（x）（1）=0，故（x）在区间1，+）上单调递减，当x1时有（x）（1）=0，故a4时，原不等式恒成立；若a40，即a4，令可得，故（x）在区间上单调递增，故当时，（x）（1）=0，故（x）在区间上单调递增，故当时，（x）（1）=0，故a4时，原不等式不恒成立综上可知a4，即a的取值范围为（，42016年8月17日
