1、相似三角形一、选择题1.（2011浙江省慈溪市毕业班模拟，4，3）在16开杂志上见到的跨页中国地图，其图上1cm相当于实际的160km这种地图的比例尺是（ ） (A)1：16万 (B) 1：160万 (C) 1：1600万 (D) 1：16000万【答案】CABCDFOGHE2. （2011浙江省模拟，10，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FCEC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）OHBF； CHF45； GHBC；DH2HEHB A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、【答案】C3. （2011重庆市綦江县模拟，8，4）8.在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，在ADE和四边形BCED的面积比是（ ）A.12 B.13 C.14 D.23【答案】B4. （2011重庆市綦江县模拟，10，4）10如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B处，点A落在点A处设AE=，AB=，BF=，下列结论：BE=BF； 四边形BCFE是平行四边形；a2+b2=c2； ABEBCD；其中正确的是( )A BC D【答案】D5. （2011广东省佛山市一中模拟，10，3）如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,C=,CD=6cm,AD=2 cm.动点P,Q
3、同时从点B出发,点P沿BAADDC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动的速度都是1 cm/s,而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设点P运动的时间为t(s),BPQ的面积为y(cm2),那么能正确表示整个运动过程中y关于t的函数关系的图像大致是（ ）【答案】B6. （2011湖南省长沙市模拟，5，3）已知ABC如图2-1所示。则与ABC相似的是图2-2中的（ ）ABCED【答案】C7. （2011上海市杨浦区模拟，6，4）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，DEBC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的D和以E为圆心EB为半径的E的位置关系是 （ ）（A）外
4、离； （B）外切；（C）相交； （D）不能确定【答案】C8. （2011上海市普陀区模拟，6，4）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，由此得到结论：BC=2DE；ADEABC；其中正确的有（ ）（A）4个； （B）3个； （C）2个； （D）1个【答案】AABFCDEO9. （2011上海市奉贤区模拟，6，4）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，那么等于（ ）A； B； C； D【答案】DADEBC10（2011江西省中考预测五，12，3）如图，已知AD是等腰ABC底边上的高，且tanB=,AC上有一点E，满足AE:CE=2:3则tanADE的值是（ ）A B
5、C 【答案】BEABDC11.（2011江苏省南京市江宁区一模，6，2）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米， BC=10米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（ ）A8米 B7.5米 C9米 D9.5米【答案】C12. （2011山东省东营市模拟，12，3）如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积( )A.32 B.54 C.76 D.86【答案】C13. （2011浙江省义乌市模拟，10，3）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的OABCDA1B1C1A2
6、C2B2xy位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1按这样的规律进行下去，那么第2011个正方形的面积为 （ ）A B C D【答案】C14. （2011安徽省马鞍山市二模，10，4） 如图10，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F。设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）x36y40（A）36y40x（B）26y40x（C）36y40x（D） 【答案】ABCAE1E2E3D4D
7、1D2D315. （2011山东省济南市模拟，11，3）在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:EC=1：2，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ）A1：3：9B1：5：9 C2：3：5D2：3：9【答案】A16. （2011山东省济南市模拟，15，3） 如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，如此继续，可以依次得到点，分别记，的面积为，则（ ）A= B=C= D=【答案】DABCDFOGHE17. （2011江苏省盐城市模拟，8，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FCEC，连结DF交BE的延长
8、线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC则以下四个结论中正确结论的个数为 （ ） OH BF； CHF45； GH BC；DH2HEHB A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C18. （2011江苏省太仓市模拟，9，3）如图所示，给出下列条件：BACD；ADCACB；AC2ADAB其中单独能够判定ABCACD的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4【答案】C19. （2011湖南省长沙市一模，5，3）已知ABC如图2-1所示。则与ABC相似的是图2-2中的【答案】C20（2011湖南省长沙市一模，10，3）如图25，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是弧AC上的一点(点P不与A，C重合
9、)，连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F给出下列四个结论：CH2=AHBH；弧AD=弧AC；AD2=DFDP；EPC=APD其中正确的个数有A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C21. （2011海南省模拟，9，3）如图，在ABC中，DEBC，若，DE4，则BC=（ ） A9 B10 C11 D12【答案】DAOBCDE22. （2011海南省模拟，13，3）如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE1，则AB的长是（ ） A1 B2 CD4【答案】B23. （2011广东省四会市一模，9，3）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC边
10、上，DEBC，若ADAB=34，AE=6，则AC等于( )A3 B4 C6D 8【答案】D二、填空题O11232344（第2题）1.（2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，12，3）已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为 【答案】232.（2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，17，3）如图，ABC 在已建立直角坐标系的44正方形方格纸中，是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点）， 若以格点、为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是 【答案】（1，4）、（3，4）ACDBEO3. （2011河南省郑州市模拟考试，10，3）如图，ABCD的对角线、相交于点，
11、点是的中点，的周长为16cm，则的周长是 cm 【答案】8 4. （2011福建省晋江市毕业班质量检测，14，4）14如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积比为 .【答案】Oyx(A)A1C112BA2A3B3B2B15. （2011浙江省宁波市模拟，18，3）如图所示，已知：点，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，则第个等边三角形的边长等于 第6题图【答案】6. （2011浙江省宁波市外国语学校模拟，16，3）如图,在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3cm，那么菱形ABCD的周长是 cm【答
12、案】247. （2011江苏省苏州市模拟，18，3）18如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为_米【答案】88. （2011浙江省模拟，13，4）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为_米。 【答案】 9. （2011重庆市名校联盟联合考试，16，4）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF
13、分别交CD，CE于H，G下列结论： EC=BD； GD=GH； SCDG=S四边形DHGE； BDHBGD， 图中有8个等腰三角形。其中正确的是 (填序号）【答案】10（2011重庆市一中下学期期中考试，13，4）如图，在ABC中，DEAB分别交AC，BC于点D，E，若AD=3，CD=5，则CDE与CAB的周长比为 .【答案】5811. （2011广东省佛山市一中模拟，13，4）13. 如图,ABC中C=,AC=3,BC=6,D为BC中点,E是线段AB上一动点,当BE= 时BDEABC. 【答案】12. （2011河北省石家庄市毕业班调研卷，18，3）如图，在矩形ABCD中，EHFGAD,EH
14、,FG分别交AC于点M,N,EF=，设四边形AMHD的面积为S1，四边形EFNM的面积为S2，三角形NCG的面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是 【答案】S1+ S3= S213. （2011上海市长宁区二模，17，4）长度为2的线段AB被点P分成AP和BP两段，已知较长的线段BP是AB与AP的比例中项，则较短的一条线段AP的长为 .【答案】14. （2011上海市长宁区二模，18，4）如图，将矩形纸片ABCD(ADDC)的一角沿着过点D的直线折 叠， 使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB= .【答案】15. （2011上海市卢湾区模拟，17，
15、4）如图，点是的重心， ，垂足为点，若，则点到的距离为 CDBAO【答案】916. （2011上海市黄埔区模拟，16，4） 如图4，AB与CD相交于点O，ADBC，ADBC=13，AB=10，则AO的长是_.【答案】 CBEDA17. （2011上海市宝山、嘉定两区模拟，16，4）如图，小芳与路灯相距3米，他发现自己在地面上的影子（DE）长2米，如果小芳的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度（AB）是 米.【答案】 418. （2011上海市青浦区模拟，8，4）已知，则 【答案】 19. （2011上海市青浦区模拟，17，4）光源P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，已知AB
16、2m，CD6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是_m【答案】 1.820（2011上海市徐汇区模拟，18，4）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与ABC相似, 写出ABCEFDA1E1F1所有符合条件的三角形 【答案】DP2P5、DP2P4、DP4P521. （2011上海市杨浦区模拟，18，4）如图，EF是ABC的中位线，将AEF沿中线AD的方向平移到A1E1F1，使线段E1F1落在BC边上，若AEF的面积
17、为7cm2，则图中阴影部分的面积是 cm2.【答案】1422. （2011上海市松江区模拟，7，4） 已知（，则_.【答案】23. （2011上海市奉贤区模拟，17，4）17在RtABC中，AB=18，D是边AB上的中点，G是ABC的重心，那么GD= 【答案】 3yxDCABOFE24（2011江西省中考预测二，16，3）如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF； 其中正确的结论是 （选填序号）【答案】25. （2011江
18、西省中考预测四，12，3）如图，物理学家在对原子结构研究中，在一个宽的矩形粒子加速器中，一中子从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 。【答案】26. （2011江西省中考预测四，14，3）如图，已知，添加一个条件使得 .CAEDB【答案】，或者等27. （2011北京市模拟，11，4）如图，在ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DEBC若AD3，DB5，DE1.2，则BC ABCDE【答案】3.228. （2011上海市金山区二模，16，4）如图，在中, , , ,那么 . 【答案】29. （2011上海市金山区二模，17，4）已知，、的面积
19、分别为和，那么 .【答案】30. （2011河南省中招考试说明预测六，14，3）如图，正方形ABCD的面积是1,M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是 .【答案】31. （2011重庆市南开中学5月月考，13，4）已知中，且，则和的面积比为_【答案】4:2532. （2011浙江省杭州市上城区二模，13，4）如图，有一矩形纸片ABCD，AB6，AD8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是 ABCEF AAABBBCDCEDECFD【答案】33. （2011湖北省枣阳市模拟，17，3）如图，ABC中，AB=9，AC=6，E是AC上
20、一点，AE=4，F是AB上一点，当AF= ，由A、E、F三点组成的三角形与ABC相似.CEFADB【答案】6或34（2011湖北省襄阳市高中推荐招生考试，15，4）如图，ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，DE =CD.若DEF的面积为1cm2,则ABCD的面积为_ cm2.【答案】1235. （2011江西省中招样卷三，14，3）如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，再过点A折叠使折痕DEBC，若AB=4，AC=3，则ADE的面积是 【答案】2436. （2011江苏省盐城市模拟，14，3）如图，将ABC的三边分别扩大一倍得到A1B1C1（顶点均在格点上），它
21、们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是 。【答案】 （-4，-3）37. （2011江苏省苏州市模拟十，15，3）如图，请你补充一个你认为正确的条件，使ABCACD，补充条件应该是：_【答案】ACDB(答案不惟一)38. （2011江苏省上冈市模拟，5，3）如图，RtABCRtDEF，则cosE的值等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】A39. （2011福建省南平市模拟，13，3）在ABC中，、分别是AB、AC中点，则ADE与四边形DBCE的面积之比为_C A B E F D 【答案】1:340（2011广东省清远市二模，16，2）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC
22、的中点，如果EF=2cm，则的长为 cm【答案】4三、解答题1.（2011安徽省安庆市一模，21，12）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E， 连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B (1)求证：ADFDEC； (2)若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC (2)解：四边形ABCD是平行四边形 ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF= 2. （2011安徽省
23、安庆市一模，20，10）在东西方向的海岸线，上有一长为1km的码头MN(如图,MN=lkm)，在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西3000，且与A相距40km的B处；经过l小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东6000方向，且与A相距km的C处(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由【答案】（1）由题意，得BAC=90， 轮船航行的速度为km/时(2)能作BDl于D，CEl于E，设直线BC交l于F，则BD=ABcosBAD=20，CE=ACsinCAE=
24、，AE=ACcosCAE=12BDl,CEl,BDF=CEF=90又BFD=CFE，BDFCEF，EF=8AF=AE+EF=20AMAFAN，轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸 3. （2011浙江省慈溪市毕业班模考试，21，8）已知ABC(如图)，B=C=30。请设计二种不同的分法，将ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。 (画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法 如图
25、和为同一种分法。图图分法一：（不能拼成与图或的形式）分割后所得的四个三角形中 ，Rt Rt 分法二：（不能拼成与图或的形式）分割后所得的四个三角形中 ，Rt Rt 【答案】解：参考分法如下所示： 4. （2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，20，12）如图，在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；ABC（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；（3）计算的面积【答案】（1）画出原点， 轴、轴 ，（2）画出图形 OyxABC（3）5. （2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，23，9）如图1,在和DEF中,ACDE，EF
26、D与B互补，DE=kAC(k1)试探索线段EF与AB的数量关系，并证明你的结论说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取k（图2）来证明，此时满分分 DCBEAFCDEBFA【答案】EF=kAB DCBEAFG过点A作AGEF，交BD于点 G，AGC=EFDEFD与B互补，180.+=180.又+=180.=. =. ,=. EF=kAB k的情况证法同上，相似变全等。6. （2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，24，11）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；DMABCN（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，
27、四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值【答案】（1）在正方形中，在中， （2）， ，当时，取最大值，最大值为10 （3），要使，必须有，由（1）知，当点运动到的中点时，此时 7. （2011辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，25，12）如图1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点BBAACOEDDECOF图1图2F（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值【答案】（1），BADECOFG，； （2）解法一：作，交的延长线于，是边的中点，由（1）有，又， BADECOF解法二：于，设，则，由（1）知，设，在
28、中，（3） 8. （2011河北省三河市一模，24，10）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合） 设DN=x，四边形AMPN的面积为y在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式（1）如图1，点P与点O重合；（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB【答案】（1）当x变化时，y不变如图1， （2）当x变化时，y不变如图2，作OEAD于E，OFAB于F AC是正方形ABCD的对
29、角线，BAD=90，AC平分BAD。四边形AFPE是矩形，PF=PE四边形AFPE是正方形 ADC=90，PECDAPEACDAP=2PC，CD=3，PE=2FPE=90，MPN=90，FPN+NPE=90，FPN+MPF=90NPE=MPFPEN=PFM=90，PE=PF，PENPFM （3）x变化，y变化如图3，0x3 9. （2011河南省一模，21，10）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE （第9题）ABCDPFE 判定四边形PCFD的形状； 当AP的长为何值时，四边形
30、PCFD是矩形； 求四边形PCFD的周长的最小值【答案】； ，APDBCPx:4=1:（5x）解得x1=1，x2=4； 延长DA到G，使AG=AD当点G、P、C共线时CP+PD最小，值为GC=所以周长的最小值为10（2011河南省郑州市模拟考试，17，9）如图，在中，ACB= （1）根据要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： 作的平分线交AB于D； 过D点作DEBC，垂足为E（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形： ； 请选择其中一对加以证明【答案】（1）正确作出角平分线CD ； 正确作出DE （2）BDECDE ； ADCACB 选择BDECDE进行证
31、明： DC平分ACB DCEACB又 ACB2B BACB DCEB DEBC DECDEB90又 DEDE BDECDE（AAS）或选择ADCACB进行证明： DC平分ACB ACDACB又 ACB2B BACB ACDB又 AA ADCACB11. （2011河南省郑州市模拟考试，21，10）如图，ABC中，C900，BC5，AC12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动。设点P、Q运动的时间为t秒（），
32、（1）当t=2时，BP ，Q到BC的距离是 ；（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t的取值范围）；（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由。【答案】（1）3，；（2）过Q作QEBC于E，由QBEABC可得QE，故；（3）能，或或12. （2011湖北省黄冈市红安县模拟，24，14）如图二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A( , )、B( , )；(2)求二次函数的解析式；(3)该抛
33、物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；CDOBAyx(4)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1) 对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); (2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，顶点C的横坐标为4，且过点(0，)y=a(x-4)2+k 又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，A(1，0)，B(7，0)0=9a+k ，由解得a=，k=，二次函数的解析式为：y=(x-4)2或y=xx+ (3)解法一：点A、B关于直线x=4对称，
34、PA=PB，PA+PD=PB+PDDB，当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO， ，点P的坐标为(4，) 解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=+(4)由知点C(4，)，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N，如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60o，QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2
35、，)当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使QABABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，) 13. （2011福建省晋江市毕业班质量检测，24，9）如图，边长为3的正方形纸片，用剪刀沿剪下，其中.（1）求的长；（2）若从余料（梯形）再剪下另一个,使点在上，则当的长为多少时，？【答案】(1) 法一：在中，法二：四边形为正方形又设，则在中，由勾股定理得即解得（舍去负值）（2）法一：由（1）可知，又由正方形可得当时由解得当时，.法二：由（1）可知，要使，则必须有在中，由可得故当时，.14.
36、（2011山东省泰安市模拟，28，10）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC (2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF= 15. （2011江苏省扬州市一模，25，10） 学习投影后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度
37、来测量一路灯的高度。如图，在同一时间，身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长是3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得HB=6m（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；ABB1A1EHC（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长。【答案】（1）作图正确（2）由题意得：， ABB1A1EHCGC1，（m）（3），设长为，则，解得：（m），即（m）16. （2011浙江省模拟，24，12）如图，已知直线交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线
38、与直线另一个交点为E.(1)请直接写出点C，D的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积【答案】(1)C (3,2)，D (1,3)； (2)设抛物线为y 抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)， 图2图3 17. （2011浙江省舟山市模拟，21，8）如图，已知AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，过A作AD
39、CD，D为垂足。（1）求证：AC平分DAB。（2）若AD=3，AC=，求AB的长。【答案】证明：（1）连接OC直线CD与O相切于点C OCCD ADCD OCAD （第17题图） OCA=DAC OC=OA OCA=OAC DAC=OAC AC平分DAB （2）连接，DACCBA 求得 AB=5 18. （2011重庆市綦江县模拟，19，6）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=.（1）在边CD上找一点E，使EB平分AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F.求证：点B平分线段AF；PAE能否由PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以
40、证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.【答案】（1）当E为CD中点时，EB平分AEC由D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，CEB=600 ，从而AEB=CEB=600 ，即EB平分AEC（2）CEBF，PCEPBF= BF=2CE AB=2CE，点B平分线段AF 能证明：CP=，CE=1，C=900 ，EP=。在Rt ADE中，AE= =2，AE=BF，又PB=，PB=PEAEP=BP=900 ，PASPFBPAE可以PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到.旋转度数为1200 19. （2011重庆市綦江县模拟，24，10）如图，梯形ABCD中，ABCD，ABC=90，
41、AB=8，CD=6，BC = 4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQDP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x当x为何值时，APD是等腰三角形？若设BE=y，求y关于x的函数关系式；若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点CABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）【答案】解：过D点作DHAB于H ，则四边形DHBC为矩形，DH=BC=4，HB=CD=6 AH=2，AD=2AP=x， PH=x2，情况：当AP=AD时
42、，即x=2情况：当AD=PD时，则AH=PH 2=x2，解得x= 4情况：当AP=PD时，则RtDPH中，x2=42+(x2)2，解得x=52x8，当x为2、4、5时，APD是等腰三角形易证：DPHPEB， 整理得：y=(x2)(8x)=x2+x4若存在，则此时BE=BC=4，即y=x2+x4=4，整理得： x210x+32=0=(10)24320 （3）DBC+DCB=DAQ+DQA，DCB=ABD+DBC，2DBC+ABD=DAQ+DQADAQ=2BAC，BAC=DBC，ABD=DQA AQ=AB=4作AFBQ，垂足为点F，可得，解得解得，即 31. （2011上海市卢湾区模拟，24，12
43、）已知：抛物线经过点，且对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，求点坐标.【答案】（1）由题意得解，得.（2）与重合，又，（2分），四边形是矩形，设，则，解，得，.（3）过点作，垂足为点.，.经过点，的直线的表达式为， .32. （2011上海市卢湾区模拟，25，14）已知：如图，在直角梯形ABCD中，BCAD ，BCAB，AB=8，BC=6动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC线段EF与AC相交于点G，过点G作GH
44、AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x（1）求证：；（2）当时，用含的代数式表达的长；（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.【答案】 （1）BCAD，.（2），AB=8，BC=6，BCAB，EC=x，AF=2EC，由（1）知，.（3），设， ，当与相外切时，；，解，得，即，由，得，与已知不符，（舍）；当与相内切时， ，无解； ，解，得，.综上所述，满足条件的的值为.BCAD33. （2011上海市黄埔区模拟，21，10）如图，在ABC中，ACB，AC=6，BC=8，CD是边AB上的中线. （1）求CD的长； （2）请过点D画直线AB的垂线，
45、交BC于点E，（直接画在图中）并求CE的长.【答案】（1）在ABC中，ACB，AC=6，BC=8， 则. 又CD是边AB上的中线, 所以.(2) 作图（略）. DEAB，BDE=ACB，又B=B，EDBABC， ,又DB =,.MABCDH34. （2011上海市黄埔区模拟，25，14）如图，在ABC中，ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CHBM于H. （1）试求sinMCH的值； （2）求证：ABM=CAH； （3）若D是边AB上的点，且使AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为_.【答案】（1）在MBC中，MCB=，BC=2，又M是边AC的中点，AM=MC=BC=1， MB=，
46、又CHBM于H，则MHC=， MCH=MBC， sinMCH=. （2）在MHC中，.AM2=MC2=，即，又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.（3）、.35. （2011上海市宝山、嘉定两区模拟，22，10）如图，已知是线段上一点，和都是正方形，联结、ABCDEFGP (1) 求证：=； (2) 设与的交点为P，求证：.【答案】（1）四边形和是正方形， （2）， ， 36. （2011上海市宝山、嘉定两区模拟，25，14）如图1，已知O的半径长为1，PQ是O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与O交于A、B两点，联结PA并延长，交M于另外一点C.(1) 若AB恰好是
47、O的直径，设OM=x，AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；(2) 联结OA、MA、MC，若OAMA，且OMA与PMC相似，求OM的长度和M的半径长；(3) 是否存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和M的半径长；若不存在，试说明理由.AB图1CQPOM备用图QPO图2QPOM【答案】（1）图画正确 过点作，垂足为由题意得：， 又是圆的直径 ， 在Rt中，又， y关于x的函数解析式为 （） （2）设圆M的半径为 因为 OAMA，OAM=90， 又OMA与PMC相似，所以PMC是直角三角形。因为OA=OP，MA=MC，所以CPM、
48、PCM都不可能是直角。所以PMC=90. 又P， 所以，AMO=P 即若OMA与PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应. , 即 ， 解得 从而所以，圆的半径为. （3）假设存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边 联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦与直线相交于点 由正五边形知 ， 是公共弦，所以， 从而 ， ，即圆的半径是 ， ， ，解得：（负值舍去） 所以，存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的，圆的半径是. 37. （2011上海市青浦区模拟，24，12）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90o，BDDC，BC=10c
49、m，CD=6cm在线段、上有动点、，点以每秒的速度，在线段上从点B向点C匀速运动；同时点以每秒的速度，在线段上从点C向点D匀速运动当点到达点C时，点同时停止运动设点运动的时间为t（秒）（1）求AD的长；（2）设四边形BFED的面积为，求y 关于t的函数关系式，并写出函数定义域；（3）点、在运动过程中，如与相似，求线段的长【答案】（1）ADCB, ADB=DBC 又BDDC, A=90o A=BDC= 90o ABDDCB 在 即 解得：cm (2) 过点E作AB的垂线，垂足为G，在中， 在中， （）（3）当，cm ，当，cm综上所述：cm或者cm 38. （2011上海市徐汇区模拟，24，12
50、）如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且ABE与ABC的面积之比为32（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且ABQ与ADF相似，直接写出点Q点的坐标【答案】（1）ABE与ABC的面积之比为32，E（2，6），C（0，4），D（0，2）， 设直线AD的解析式为，由题意得，解得，直线AD的解析式为 A（，0）. 抛物线经过A、C、E三点，得解得.所求抛物线的解析式为： (2)当ABQ与CED相似时，由（1）有B（4，0），F（，0） 若ABQAFD，即，Q（，
51、4） ABQADF， 即，Q（）39. （2011上海市松江区模拟，25，14）如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE/ BC，交AD于点E（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以PE为半径的E与DB为半径的D外切时，求的正切值；（3）将ABD沿直线AD翻折，得到AB/D，联结B/C如果ACE=BCB/，求AP的值EPDCBADCBA【答案】（1）在RtABC中，AC=4，CD=3，AD=5， PE/ BC，,，,，即，（）（2）当以PE为半径的E与DB为半径的
52、D外切时，有DE=PE+BD，即， 解之得，PE/ BC，DPE=PDC，在RtPCD中， tan=；tan=(3) 延长AD交BB/于F，则AFBB/，又， BF=，所以BB/= ，ACE=BCB/，CAE=CBB/， ，, 40. （2011上海市普陀区模拟，25，14）直角三角板ABC中，A=30，BC1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且 90），得到Rt，（1）如图9，当边经过点B时，求旋转角的度数；备用图备用图（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE交边于点E，联结BE.当时，设，求与之间的函数解析式及定义域；当时，求的长. 【答案】（1）在Rt中，A
53、=30，由旋转可知：，为等边三角形 （2） 当时，点D在AB边上（如图）. DE， . 由旋转性质可知，CA =，CB=， ACD=BCE. ， . CADCBE.A=30.（02）当时，点D在AB边上AD=x，DBE=90. 此时，. 当S =时，. 整理，得 . 解得 ，即AD=1. 当时，点D在AB的延长线上（如图）. 仍设AD=x，则，DBE=90. . 当S =时，. 整理，得 . 解得 ，（负值，舍去）. 即. 综上所述：AD=1或.41. （2011上海市闵行区模拟，25，14）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，ABE = 30，BE = DE，联结BD点M为线段
54、DE上的任意一点，过点M作MN / BD，与BE相交于点N（1）如果，求边AD的长；（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN过点M作MFCN，垂足为点F，求线段MF的长；（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论ABCDEMN（图1）FABCDEMN【答案】（1）由矩形ABCD，得 AB = CD，A =ADC = 90在RtABE中， ABE = 30， ，BE = 2AE = 4又 BE = DE， DE = 4于是，由 AD = AE +DE，得 AD = 6 （2）联结CM在RtABD中， BD = 2AB，即得 ADB
55、= 30 MN / BD， AMN =ADB = 30又 MN / BD，点M为线段DE的中点， DM = EM = 2， 在RtCDM中， CMD = 60，即得 CM = 4，CMN = 90由勾股定理，得 于是，由 MFCN，CMN = 90，得 （3） 证明如下：过点E作EFBD，垂足为点F BE = DE，EFBD， BD = 2DF在RtDEF中，由 EDB = 30，得 ，即得 MN / BD， ，即得 ，BN = DM 于是，由 BE = BN +EN，得 ACBOxy42. （2011上海市静安区模拟，24，12）如图, 二次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B，点C在这个二
56、次函数的图像上，且ABC=90，CAB=BAO， （1）求点A的坐标；（2）求这个二次函数的解析式【答案】（1）二次函数的图像轴的交点为B（0，2）， 在RtAOB中，OB=2， OA=4，点A的坐标（4，0）（2）过点C作CD轴，垂足为D， CDB=ABC=AOB=90，CBD=180ABCABO=90ABO=BAO CDBBOA， CAB=BAO， OC=1，BD=2，OD=4C（1，4）点A、C在二次函数的图像上，BDCAO 二次函数解析式为43. （2011上海市静安区模拟，25，14）如图，在半径为5的O中，点A、B在O上，AOB=90，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交
57、于点D，设AC=，BD= （1） 求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2） 如果与O相交于点A、C，且与O的圆心距为2，当BD=OB时，求的半径；（3） 是否存在点C，使得DCBDOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由【答案】（1）过O的圆心作OEAC，垂足为E， AE=，OE=DEO=AOB=90，D =90EOD=AOE,ODEAOE.,OD=,关于的函数解析式为： 定义域为：（2）当BD=OB时，AE=，OE=当点在线段OE上时，当点在线段EO的延长线上时， 的半径为或（4） 存在，当点C为AB的中点时，DCBDOC（5） 证明如下：当点C为AB的中点时，BOC=AOC=
58、AOB=45， 又OA=OC=OB，OCA=OCB=，DCB=180OCAOCB=45ABCDEDCB =BOC又D=D，DCBDOC存在点C，使得DCBDOC44（2011上海市奉贤区模拟，21，10）如图，ABC中，点E是AB的中点，过点E作DEAB交BC于点D，联结AD，若AC=8，（）求：的长；（）求：的长【答案】(1)在中，设 (2) 点是的中点， 在中, （解一） （解二） 在中， 1145. （2011上海市奉贤区模拟，24，12）已知：直角坐标系xoy中，将直线沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3，0)及y轴上的C点若抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过
59、点C，（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；【答案】 沿轴向下平移3个单位长度后经过轴上的点，C（0，-3）设直线的解析式为 B(-3 ，0) 在直线上， -3k-3=0 解得直线的解析式为 抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为 由可得D(-2，1) ，A（-1，0），可得是等腰直角三角形，设抛物线对称轴与轴交于点，AF=AB=1 过点作于点可得，在与中，解得点在抛物线的对称轴上， 点的坐标为或ABCDEFGMNKP46. （2011上海市奉贤区模拟，25，14）已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰
60、好使得N、A、F三点在一直线上，联结MF交线段AD于点P，联结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由。【答案】(1)正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCDE=F=90O ，AE/MC，MC/NK AE/NK KNA=EAF 即 （2）由（1）可知： 正方形DMNK （3）联结PG，延长FG交AD于H点，则。易知：；。当两圆外切时，在中，即 解得：（负值舍去）当两圆内切时，在
61、中， 即，方程无解 所以，当时，这两个圆相切。47. （2011江西省中考预测一，25，10）如图1，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4OA8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作O的切线交边BC于N.（1）求证：ODMMCN;（2）设DM = x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？【答案】（1）MN切O于点M， 又,（2）在Rt中，设；，由勾股定理得：，；（3），又且有, , 代入得到；同理，代入得到； CMN的周长为P=16发现：在点O的运动过程中，CM
62、N的周长P始终为16，是一个定值图(1) 图(2) 图(3)48. （2011江西省中考预测二，22，8） 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图(3)，测得校园景灯（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长HQ 为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm。 （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； （2）请根据甲、丙两组得到的信息，
63、求：灯罩底面半径MK的长； 灯罩的主视图面积。【答案】解：（1）在同一时刻在阳光下对校园中，学校旗杆与旗杆的影长构成直角三角形和,且，所以，DE=1200 cm （2）由（1）可知，得出GH=30cm,MK=18cm ,由KP长24cm，得出，,所以,所以72 cm 灯罩的主视图面积为：18272=2592 49. （2011江西省中考预测三，25，10）已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(090)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂
64、线，垂足为G、H。（1）当30时(如图)，求证：AG=DH；（2）当60时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当090时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图说明理由。AGDHMEFCBN图EFMNDABGH图C4560AEDBCFAGDHMEFCB(N)图图【答案】 50. （2011江西省中考预测六，22，8） 如图，BD是O的直径，AB与O相切于点B，过点D作OA的平行线交O于点C,AC与BD的延长线相交于点E 试探究AE与O的位置关系，并说明理由； 已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算O的半径r的一种方
65、案； 1) 你选用的已知数是_； 2) 写出求解过程(结果用字母表示)【答案】AE与O相切. 理由：连接OC. CDOAAOC=OCD，ODC=AOB. 又OD=OC，ODC=OCD.AOB=AOC. 在AOC和AOB中，OA=OA，AOB=AOC，OB=OC.AOCAOB，ACO=ABOAB与O相切，ACO=ABO=90AE与O相切. 选择a、b、c，或其中2个.若选择a、b、c，方法一：由CDOA，=，得r=方法二：在RtABE中，由勾股定理(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=方法三：由RtOCERtABE，=，得r= 若选择a、b.方法一：在RtOCE中，由勾股定理：a2+r2=(
66、b+r)2，得r=方法二：连接BC，由DCECBE，得r=若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=8分51. （2011江西省中考预测六，23，9）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯，已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角为78，李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.050.20m时，安装起来比较方便。（1）为了安全在梯子的第二段间接一根绳子，绳子最短应是多少？（两边打结处共用绳0.6m）（2）他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数
67、据：sin780.98，cos780.21,tan784.70）【答案】解（1）由题知GHBC，则AGHABC，即GH= 绳子最短为0.72+0.6=1.32(m) （2）如答图，过点A作AEBC于点E，过点D作DFBC于点F，AB=AC，CE= 在RtAEC和RtDFC中，Tan78=又sin=- DF=,AE=AE1.007. 李师傅站在第三级踏板上时，头顶中距离离地面的高度约为1.007+1.78=2.787。头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787=0.11 0.050.110.20 他安装比较方便52. （2011江西省中考预测六，25，10）操作：在ABC中，AC=BC=2，C
68、=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图3-1-13是旋转三角板得到的图形中的3种情况，由研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（2）三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图加以证明。【答案】（1）连接PC，因为ABC是等腰直角三角形，P是
69、AB的中点，所以CP=PB，CPAB，ACP=ACP=45，即ACP=B=45，又因为DPC+CPE=BPE+CPE=90，所以DPC=BPE，即PCDPBE，所以PD=PE。（2）共有四种情况：当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB，当CE=2-时，此时PB=BE；当CE=1时，此时PE=BE；当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB。（3）MD：ME=1：3，证明如下：过点M作MFAC，MHBC，垂足分别是F、H，所以MHAC，MFBC，即四边形CFMH是平行四边形，因为C=90，所以CFMH是矩形，即FMH=90，MF=CH，因为， 而HB=MH，所以，因为DMF+DMH
70、=DMH+EMH=90，所以DMF=EMH，因为MFD=EMH=90，所以MDFMEH，即 53. （2011江苏省南京市下关秦淮沿江区一模，27，8） (1)学习测量建筑物的高度后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度参考示意图1，他的测量方案如下：第一步，测量数据测出CD1.6米，CF1.2米， AE9米第二步，计算请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度(2) 如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座现在有卷尺、 标 杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据(注意不能到达底部点N对完
71、成测量任务的影响，不需计算)你选择出的必须工具是 ；需要测量的数据是 【答案】(1)设旗杆的高度AB为x米由题意可得，ABECDF 所以因为CD1.6米，CF1.2米，AE9米，所以解得x12米 答：旗杆的高度为12米(2)示意图如图，答案不唯一；卷尺、测角仪；角(MPN)、(MQN)的 度数和PQ的长度 54（2011江苏省南京市栖霞区一模，27，9）如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5 , 4），A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.(1) 设点P的横坐标为12,试判断直线OP与A的位置关系,并说明理由;(2) 设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与
72、A相切时a的值( 参考数据: ， )【答案】（1）连结OP，过点A作ACOP，垂足为点C， 则APPBAB125.56.5，OB4， ACPOBP90,APCOPBAPCOPB, ， 直线OP与A相离（2） 设直线OP与A相切与点H分两种情况当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示 BPa，AP5.5a，APHOPB,AHPOBP90APHOPB得OP112a 在RtOBP中，（112a）2a2+42解得a13，a2(舍去) 当点P在点A的右侧时，如图（2）所示 BPa，APa5.5，同理得APHOPB得OP2a11，在RtOBP中，（2a11）2a2+42解得a13(舍去
73、)，a2 当直线OP与A相切时，的值为3或.55. （2011江苏省南京市建邺区一模，26，9）已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D（1）求m的取值范围；（2）当点A的坐标为，求点B的坐标；（3）当BCCD时，求m的值【答案】（1）二次函数的图象与x轴相交于A、B两点b24ac0，4+4m0，解得：m1（2）解法一：二次函数的图象的对称轴为直线x1根据抛物线的对称性得点B的坐标为（5，0）解法二：把x=3，y=0代入中得m=15二次函数的表达式为OyxABCDE令y=0得 解得x1=3，x2=5 点B的坐标为（5，0）（3）如图，过D作DEy轴，垂足
74、为EDECCOB90，当BCCD时，DCE +BCO90，DEC90，DCE +EDC90，EDCBCODECCOB， 由题意得：OEm+1，OCm，DE1，EC1 OBm，B的坐标为（m，0）将（m，0）代入得：m 2+2 m + m0 解得：m10（舍去）， m23 56. （2011江苏省南京市溧水县一模，28，9）已知，（如图）是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长BADMECBADC备用图【答
75、案】（1）取中点，连结，为的中点， 又， ，得； （2）过D作DPBC，垂足为P，DAB=ABC=BPD=90，四边形ABPD是矩形以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切， 又，DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2 PD=AB=2，PE= x-4，DE2= PD2+ PE2， （x+2）2=22+（x-4）2，解得：线段的长为 （3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：；当时，易得得； 当时，又，即=，得x2=22+（x-4）2解得，（舍去）即线段的长为2 综上所述，所求线段的长为8或2说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两
76、直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点57. （2011江苏省南京市建邺区一模，27，9）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：ABC方案一方案二纸片利用率=100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程 探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率方案三说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点【答案】发现：（1
77、）小明的这个发现正确 理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，ACBC，ABAC2+BC2AB2 BAC90，AB为该圆的直径 解法二：如图二：连接AC、BC、AB易证AMCBNC，ACMCBN又BCNCBN90，BCNACM90，即BAC90，AB为该圆的直径 图一M图二NCBADEFH图三（3） 如图三：易证ADEEHF，ADEH1（4） DEBC，ADEACB，BC8（5） SACB16（6） 该方案纸片利用率100%100%37.5%（7） 探究：（3） 58. （2011江苏省南京市建邺区一模，28，12）如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且
78、AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s作DEF=45，与边BC相交于点F设BF长为ycm（1）当x= s时，DEAB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当BEF为等腰三角形时，求x的值ABCDEF（备用图）ABCD【答案】（1） （2）在ABC中，C=90，AC=BC=4AB45，AB=4，ADEAED135；又DEF45，BEFAED135，ADEBEF；ADEBEF ，ABCDEF（1）（2）图ABCDEF（3）图，yx2+xyx2+x( x2)2+当x2时，y有最大值点F运动路程为cm （3）这里
79、有三种情况：如图，若EFBF，则BBEF；又ADEBEF，AADE45AED90，AEDE，动点E的速度为1cm/s ，此时xs； 图，若EFBE，则BEFB；又ADEBEF，AAED45 ADE90，AE3，动点E的速度为1cm/s 此时x3s；ABCDEF（3）图ABCDEF（3）图如图，若BFBE，则FEBEFB；又ADEBEF，ADEAEDAEAD3，动点E的速度为1cm/s 此时x3s；综上所述，当BEF为等腰三角形时，x的值为s或3s或3s59. （2011江苏省南京市白下区一模，28，12）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC
80、，可以把四边形ABCD分成3个三角形如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点ABCDE图1ABCD图2（1）若图1中，ABDEC50，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例（3）在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，B90，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE
81、与BE的数量关系并说明理由【答案】（1）理由：A50， ADEDEA130DEC50， BECDEA130ADEBEC AB，ADEBEC点E是四边形ABCD的AB边上的相似点 （2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明） 对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形(答案不惟一，若学生画图说明也可) （3）第一种情况：ABDEC90，ADEBECEDC，即ADEBECEDC方法一：如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，说明DEEF，说明AEBE ABCDEF图1ABCDEF图2ABCDE图3方法二：如图2，过点E作E
82、FDC，垂足为F 因为ADECDE，BCEDCE，所以AEEF，EFBE所以AEBE 方法三：由ADEEDC可得，即AE 同理，由BECEDC可得，即BE， 所以AEBE 第二种情况：如图3，ABEDC90，ADEBCEDCE，即ADEBCEDCE所以AEDBECDEC60， 说明AEDE，BECE，DECE，（或说明BEDE，AEDE，）所以AEBE 综上，AEBE或AEBE60. （2011江苏省南京市雨花台区一模，28，14）如图，在ABCD中，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接、若设运动时间为（s）（）解答下列问题：（1）当为何值时，？并
83、求出此时的长;（2）试判断的形状，并请说明理由（3）当时，()在上述运动过程中，五边形的面积 (填序号)变大 变小 先变大,后变小 不变()设的面积为，求出与之间的函数关系式及的取值范围 【答案】（1）由题意知，, 在中， 当时，,， (或当时，,，) 此时，点、分别为、的中点， (2)是等腰三角形 证明：在中，,，,，, (3) ()在上述运动过程中，五边形的面积 (填序号) () ，过点作于点，过点作于点， ，当时， 61. （2011江苏省南京市六合区一模，28，9）如图1，ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两边DG、DE分别在AC、AB上若菱形DEF
84、G以1cm/s的速度沿射线AC方向平移（1）经过 秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；（2）求菱形DEFG的面积；（3）设菱形DEFG与ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒求S与t的函数关系式【答案】（1）1 （2）方法一：如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF 交BC于点H由AG=AE得AGE=AEG，由AB=AC得B=C，AEG=C= GEBC， =，得GE= 菱形AEFG中，GEAF，可得AHBC，故CH=BC=3RtACH中，AH=4=，得AO=，于是AF=S菱形AEFG=GEAF= 方法二：易求SABC=12由AGEABC得=()2，即=()2所以，SAGE=
85、得S菱形AEFG= （3）当0t1时，S= 当1t3时，AD=t，则CE=5t2=3t，EN=EC=3t，故FN=2（3t）=t1 由FMNABC可得=()2 即=()2，所以SFMN=(t1)2 所以S= S菱形AEFGSFMN= (t1)2 当35时，S=062. （2011江苏省南京市高淳县一模，26，9）如图，AB为O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，AED与AHD关于直线AD成轴对称 （1）试说明：AE为O的切线；（2）延长AE与CD交于点P，已知PA2，PD1，求O的半径和DE的长【答案】（1）连结OA由AED与AHD关于直线AD成轴对称可知ADOADE 因为ABCD，所以AE
86、DAHD90又因为OAOD，所以OADODA 所以OADADE，所以OADE所以OAP90，又因为点A在圆上，所以AE为O的切线CABODEH（2）设O的半径为x,在RtAOP中，OA2AP2OP2x222(x1)2 解得x1.5P所以O的半径为1.5 因为OADE，所以PEDPAO 所以，解得DE 63. （2011北京市模拟，24，8）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时， （2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针
87、方向旋转，设旋转角为其中，问的值是否改变？说明你的理由 （3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式（图2，图3供解题用）()()()B(Q)CFEAP图1图2图3【答案】（1）8（2）的值不会改变 理由如下：在与中，即 （3）情形1：当时，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，（）由（2）知：得于是 情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，易证：，即解得于是综上所述，当时，当时，法二：连结，并过作于点，在与中，即法三：过作于点，在中，于是在与中即64（2011北京市模拟，25，7）如图，已知直线与抛物线交于两点（1）直接写出两点的坐标； （2）求线段
88、的垂直平分线的解析式； PA图2图1（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由【答案】（1）解：依题意得解之得 2分【要求直接写出A,B坐标，每个坐标得1分】（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1） 由（1）可知：， 图1DMACB 过作轴，为垂足，由，得：， 同理： 设的解析式为 的垂直平分线的解析式为： （3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上
89、，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2） ，抛物线与直线只有一个交点， ，PA图2HGB 在直线中，设到的距离为，到的距离等于到的距离 65. （2011北京市东城区模拟，24，7）等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图3【答案】（1）
90、EPF为等边三角形. （2）设BP=x，则CP6x. 由题意可 BEP的面积为.CFP的面积为.ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y. =.自变量x的取值范围为3x6. （3）可证EBPPCF. .设BP=x，则 .解得 . PE的长为4或. 66. （2011内蒙古乌海二中一模，19，7）如图所示，ABC内接于O，AD是ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连接BE. 求证：ABEADC .【答案】AE是O的直径， ABE=90，AD是ABC的边BC上的高，ADC=90， ABE=ADC 又同弧所对的圆周角相等， BEA=DCAABE ADCGMFEDCBA67. （2011上海市金山
91、区二模，25，14）如图，正方形的边长是，是的中点动点在线段上运动连接并延长交射线于点，过作的垂线交射线于点，连接、.（1）求证：是等腰三角形；（2）设时，的面积为求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3） 在点运动过程中是否可以成为等边三角形？请说明理由.【答案】（1）四边形是正方形 又 （2）当点与点重合时，0，448 当点不与点重合时，04在中 ME 过作，垂足为则 即 其中04 （3）不可能 在中 不可能是等边三角形 68. （2011浙江省义乌市模拟，23，10）901班在社会实践活动中要测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角.（1）如图1,小林所在的小组用一根木条EF斜
92、靠在护坡石坝上,使得BF与BE的长度相等,如果测量得到EFB=36O,那么的度数是_;（2）如图2,小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿MG斜靠在石坝旁,量出竿长1米时离地面的高度为0.6米, 请你求出护坡石坝上M点的垂直高度MN;（3）如图3,全班总结了各组的方法后,设计了如下方案:在护坡石坝顶部A点的影子P处立一根长为a米的杆子PD, 如果测得杆子的影子长CP=b米,点P到护坡石坝底部B的距离为c米,那么利用（1）中小林小组得到的结论,请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH.（ ）【答案】（1）72O; （2）由RQMN 得 ,即 ,所以MN=3米; （3）在RtABH中,设BH=x,
93、AH=3x, 由CDPPHA,得到即,解得.所以护坡石坝的高度米. 69. （2011安徽省马鞍山市二模，19，10）某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定、及其性质，可以拓展到扇形的相似中去例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”； 相似扇形的性质有弧长的比等于半径的比，面积的比等于半径比的平方请你协助他们探索这个问题（1）写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；（2）若有两个相似的扇形A和B，扇形A的圆心角为120，半径为30，扇形B的面积是扇形A的面积的一半，求扇形B的圆心角和半径【答案】（1）答案不唯一，例如“圆心角相
94、等”、“半径和弧长对应成比例”等 （2）扇形A与扇形B相似扇形B的圆心角为120度 设扇形B的半径为R，则AFBDCEM 即， R=15 答：扇形B的半径为15 70. （2011河南省中招考试说明预测四，22，10）已知：D为ABC边 BC上一定点，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若BCAE ，AFDF，DF=3,EF=4 求证：AD为BAC的平分线 求证： 求AED的余弦值；【答案】（1）DE是半圆C的直径 AF=DF, EA=ED, EDA=EADEDA=B+BAD, EAD=DAC+CAE又B=CAE BAD=DAC, 即AD平分BAC （
95、2）连结DM, DE是半圆C的直径 DFE=DME, AFE=AMD,又DAM= EAF AFEAMD，（3）过点A作AN DE,垂足为N.DF=3,EF=4, DE=5AF=DF=3, AE=DE=5 由（2）得 即AM= 在中,71. （2011河南省中招考试说明预测六，21，10）如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中BCE与ACD的关系是 .（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由.（3）四边形ABCD的面积是否有最大值，如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由.【答案】(1)BCE=A
96、CD (2) ADBC ABC和DEC都是等腰直角三角形 ABC DEC 又 BCE=ACD BCEACD CAD=B=ACB= ADBC (3)四边形ABCD的面积有最大值，当点E与点A重合，即EC与AC重合时，四边形ABCD的面积最大， BC=2 AC= AD=1 四边形ABCD的最大面积.72. （2011河南省中招考试说明预测六，23，11）如图，二次函数的图像与x轴的交点是A(m，0)、B(n，0)，与y轴的交点是C（0，2）（1）求m，n的值；（2）设P(x，y)(0 x n)是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q线段PQ的长度是否存在最大值？如果有，最大值是多少？如果
97、不存在，请说明理由.yAOBPxCQ当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标【答案】（1）抛物线过C(0,2)c=2 抛物线过A(m，0)、B(n，0) m ,n分别是一元二次方程的两根yAOBPxCQ图1解，得 （2）设直线BC的函数表达式为ykxb则有 解得直线BC的函数表达式为yx20 x 6PQyQyP(x2)(x 2x2)x 2x (x3)21 当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值为1yAOBPxCQ图2D当OAQ90时，点P与点A重合，P1(3，0) 当QOA90时，点P与点C重合，x0（不合题意） 当OQA90时，设PQ与轴交于点D，如图2QODOQD9
98、0，OQDAQD90 QODAQD又ODQQDA90，ODQQDA，即DQ 2ODDA(x2)2x(3x) 整理得10x 239x360，解得x1，x2 y1()22，y2()22P2(，)，P3(，)当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为：P1(3，0)或P2(，)或P3(，) 73. （2011浙江省宁波市七中保送生推荐考试，26，12）如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC
99、= a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）由题意C（0，3）， 抛物线的解析式为y = ax22ax3（a0），过M作MNy轴于N，连结CM，则MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此
100、 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似74（2011浙江省杭州市上城区二模，21，8）如图，AB为O的直径，AD平分BAC交O于点D，DEAC交AC的延长线于点E，FB是O的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是O的切线；(2)若DE=3，O的半径 【答案】如
101、图连接OD. AD平分BAC， 1=2.又OA=OD ，1=3.2=3. ODAE. DEAE，DEOD. 而D在O上，DE是O的切线. (2)过D作DGAB 于G.DEAE ，1=2.DG=DE=3 ，半径OD=5.在RtODG中，根据勾股定理: OG4，AG=AO+OG=5+4=9.FB是O的切线， AB是直径，FBAB.而DGAB，DGFB.ADGAFB，. BF= . 74（2011浙江省杭州市上城区二模，24，12）抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，ABx轴，且，（1）求抛物线的解析式。（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物
102、线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）ADX轴于D，以OD为直径作M，N为M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。【答案】（1）(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）设P（a,0），则Q（a+3,3）,p或Q或 （3）ANDRON，ONSDNO， 75. （2011湖北省枣阳市模拟，25，10）如图1，已知正方形ABCD在直线 MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG 连接GD、FC.(1)求证：ADGABE； (2)观
103、察并猜测FCN的度数，并说明理由；(3)如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB，BC=(、为常数)，E是线段BC上一动点(不含端点B、C)，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持不变，若FCN的大小不变，请用含、的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小发生改变，请举例说明【答案】（1）四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AB=AD，AE=AG，BAD=EAG=90.BAE+EAD=DAG+EAD，BAE=DAG.BAEDAG.（2）FCN=45.理由：作FHMN于H，如图.AEF=ABE=90，
104、BAE+AEB=90，FEH+AEB=90，FEH=BAE.又AE=EF，EHF=EBA=90，EFHABE. FH=BE，EH=AB=BC，CH=BE=FH.FHC=90，FCH=45.（3）当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变. 理由：作FHMN于H，如图.由已知可得EAG=BAD=AEF=90，结合（1）（2）得FEH=BAE=DAG.G在射线CD上，GDA=EHF=EBA=90，EFHAGD，EFHAEB.（8分）EH=AD=BC=，CH=BE， .在RtFCH中，tanFCN=.当点E由B向C运动时，FCN的大小总保持不变，tanFCN=.76（2011湖北省枣阳市模拟，26
105、，12）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（05）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的O与BC交于点M，当t为何值时，PM与O相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.记BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？是否存在NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t
106、值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNOOCBAxy备用图O图M【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12. C(0,9)，B(12,0). 又抛物线经过B，C两点，解得.于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12. A(-3,0). （2）当t=3秒时，PM与O相切. 连接OM.OC是O的直径，OMC=90. OMB=90.OO是O的半径，OOOP，OP是O的切线.而PM是O的切线，PM=PO. POM=PMO. 又POM+OBM=90，PMO+PMB=90，PMB=OBM. PM=PB.PO=PB=OB=6. PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3（秒）.当t
107、=3秒，PM与O相切. （3）过点Q作QDOB于点D.OCOB，QDOC.BQDBCO. =.又OC=9，BQ=3t，BC=15，=，解得QD=.SBPQ=BPQD= .即S=.S=.故当时，S最大，最大值为.存在NCQ为直角三角形的情形.BC=BA=15，BCA=BAC，即NCM=CAO.NCQ欲为直角三角形，NCQ90，只存在NQC=90和QNC=90两种情况.当NQC=90时，NQC=COA=90，NCQ=CAO，NCQCAO. =.=，解得.当QNC=90时，QNC=COA=90，QCN=CAO，QCNCAO. =.=，解得.综上，存在NCQ为直角三角形的情形，t的值为和.77. （2
108、011云南省玉溪市模拟，22，11）已知：在中，点为边的中点，点在上，连结并延长到点,使，点在线段上，且（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，则线段之间的数量关系为；（3）在（2）的条件下，延长到，使，连接，若，求的值 【答案】（1）证明：如图1 连接又即 . （2） （3）解：如图2 连接 , ,为等边三角形.又为中点,.,.,又, . 又,为等边三角形.在中 , , ,.为中点 , 为中点 , . . BADFGCE图1书BCFDAE图2书G78. （2011湖北省襄阳市高中推荐招生考试，19，11）如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不
109、与B、C重合）， AEF=90，且AE=EF，连接CF.(1)求证：FCG=45；(2)如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），AEF=90，且AE=2EF，连接CF，求tanFCG的值.【答案】（1）证明：过F作FHCG于H，在正方形ABCD中，ABE=900，AB=BC，AEF=900，AEB+FEH=900，又BAE+AEB=900 BAE=FEH 又ABE=FHE， AE=EF， ABEEHF BE=FH，AB=EH=BC，BE=CH=FH，FCH是等腰直角三角形 FCH=450 说明：也可以在AB上截取AH=EC，通过证AHEFC
110、E来证明，请参考以上评分说明给分。（2）过F作FHCG于H 在矩形ABCD中，同（1）理可证BAE=FEH. 又ABE=EHF=900 ，ABEEHF. =2 ，BC=EH， 即BE=CH . BE=CH=2FHtanFCH= 79. （2011江西省宜春市模拟，25，10）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3）动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动1秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的运动时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示OP、OQ，并写出t的取值范围
111、；（2）连结AC，PQ与AC能否平行？若能，求出相应的值，若不能，说明理由；（3）将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，直线PE与AC能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由【答案】（1） （2）能与平行若，如图1，则，即，而，（3）不能与垂直若，延长交于，如图2，则即 又， 而， 不存在 80. （2011江西省师大附中和南大附中联考，25，10）如图，过点E（0，1）作平行于x轴的直线l，抛物线上的两点A、B的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF.(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证CFDF；(3)点P是抛物线对称轴右
112、侧图像上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 当x=1时，y=1/4， x=4时,y=4, A（1，4），B（4，4）.把A和B 的点坐标代入y=kx+b, K=3/4, b=1.y=3x/4+1. 当x=0时,y=1, F（0，1）. （2）, , CD=5, . CFD为 Rt，CFD=90, 即CFDF.（3）CFD=OPQ=90, 当FCD=POG或FDC=POG时， CFD和OPQ相似.设P 点坐标为, sinFCD=sinPOG或sinFDC=sinPOG, 即或.
113、 解得a=8或a=2.点P 的坐标为（8，18），（2，1）.81. （2011江西省中招样卷一，25，10）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P 所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：（1） 填充甲同学所得结果中
114、的数据；（2） 写出在乙同学所得结果的求解过程； （3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： 试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； 丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？【答案】（1）AE= 3 cm， EF= 5 cm； 设AE=x，则EF=8x，AE=4，A=90，x=3，AE=3 cm， EF=5 cm.（2）解：如答图1，MFE=90，DFM+AFE=90，又A=D=90，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF
115、=DF=4，EF=5，FMD的周长=4+=16 （3） 乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF=x，EF=8AE，AE=4，同上述方法可得AEFDFM，=x+8，FD=8x，则，=16 丙同学的结论还成立证明：如答图2，B、F关于GE对称，BFEG于P，过G作GKAB于K，FBE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90，AFBKEG，FB=GK.由上述可知AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE =4+x， S=8=0.58（AE+AK）=4（4+4+x）=S =，（0x8）当x=4,即F与AD的中点重合时,，=2482（2011江西省中
116、招样卷四，23，9）已知直线于O，现将矩形ABCD和矩形EFGH，如图1放置，直线BE分别交直线于.（1）当矩形ABCD矩形EFGH时，（如图1） BM与 NE的数量关系是 ；（2）当矩形ABCD与矩形EFGH不全等，但面积相等时，把两矩形如图2，3那样放置，问在这两种放置的情形中，（1）的结论都还成立吗？如果你认为都成立，请你利用图3给予证明，若认为BM与 NE的有不同的数量关系，先分别写出其数量关系式，再证明.【答案】（1） BM= NE（2） 如图2，3那样放置（1）中的结论都成立,证明: 如图3,在矩形ABCD和矩形EFGH中,FNEH, ,FNE=BEA,EFN=A=90EFNBAE
117、,同理:BCMEAB, 得, 又EFHE=ABBC, =1, EN=BMACBDE83. （2011江西省中招样卷三，22，9）如图，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE （1）求证：ACAE； （2）求ACD外接圆的直径【答案】（1）证明：ACB90， AD为直径 又AD是ABC的角平分线， ， 在同一个O中，ACAE （2）解：AC=5，CB=12，AB=， AE=AC=5，BE=AB-AE=13-5=8， AD是直径，AED=ACB=90，B=B，ABCDBE ， ， DE ， ADACD外接圆的直径为84
118、. （2011江西省中招样卷六，24，10）矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，FCG的面积=y.（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；（2）如图2，求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；连接AC，当EFAC时，求x和y的值；当CFG是直角三角形时，求x和y的值.【答案】（1）作FMCD于M，AEHDHGMGFx=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2 y=FCG的面积=.（2）AEHDHG即，FCG的面积=.1x 8. DHGDAC即，.，y=，. 由画图可
119、知FGC和GCF都不能为直角， 当GFC=90时，E、F、C三点在一条直线上，AEHBCE ，即，解得：x=2或x=6. y =4或.85. （2011江苏省盐城市模拟，28，12）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（8，0），直线BC经过点B（8，6）、C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当=90时， 的值是 （2）如图2,当四边形的顶点落在y轴正半轴上时,求 的值；如图3,当四边形的顶点落在直线BC上时,求OPB的面积（3）在四边形OABC旋转过程中,当0180时，是否
120、存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 86.（2011江苏省徐州市模拟，25，8）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西195 km 处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60，且与A相距km的C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由【答案】（1）由题意，得BAC=90， 轮船航行的速度为km/时(2)能 作BDl于D
121、，CEl于E，设直线BC交l于F，则BD=ABcosBAD=20，CE=ACsinCAE=，AE=ACcosCAE=12BDl,CEl,BDF=CEF=90又BFD=CFE，BDFCEF， ，EF=8AF=AE+EF=20AMAFAN，轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸 87. （2011江苏省徐州市模拟，26，10）如图，是O的直径，为延长线上的任意一点，为半圆的中点，切O于点，连结交于点求证：（1）；（2）【答案】(1)连接OC、ODODPD ，OCAB PDE=ODE，PED=CEO=C又C=ODE PDE=PED PE=PD (2) 连接AD、BD ADB= BDP=ODB
122、，A=OBD又OBD=ODB BDP=A PDBPAD 88. （2011江苏省上冈市模拟，28，12）如图，过点P（-4，3）作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（k2）于E、F两点（1）点E坐标是 ，点F坐标是 ；（均用含k的式子表示）（2）判断EF与AB位置关系，并证明你结论；（3）记S=SPEF-SOEF，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请你说明理由【答案】(1)(2)平行PB=4，PA=3 PF= PE= APB=EPF APBEPFPAB=DEFABEF(3)过点F、E分别作x轴y轴 垂线交与点QS=当k=2时S有最小值89（2011湖北省黄冈市三
123、模，20，7）如图，O是ABC的外接圆，ABAC，过点A作APBC，交BO的延长线于点P (1)求证：AP是O的切线；(2)若O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长【答案】(1)证明：过点A作AEBC，交BC于点EAB=AC，AE平分BC，点O在AE上又AP/ BC，AEAP，AP为O的切线（2），又， 即90. （2011河南省新密市模拟，22，9）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，DCB = 90，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：BOPDOE；BAEDCCO（2）设（1）中的相似比为，若ADBC = 2
124、3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？当= 3时，是 . 并证明你得到的结论.当= 2时，是 ；（不证明） 当= 1时，是 ；（不证明）【答案】（1）证明：ADBC,OCP=OAE 又COP=AOE,又COP=AOE,COPAOE（2）等腰梯形；证明：分别过点D、E作BC的垂线，垂足为M、N. ADBC，ABC=90,ABENDM且AB=EN=DM 又AD:BC=2:3,设AD=3x，则BC=3x. E是AD的中点，AE=ED=BN=NM=MC=x，当K=3时， CP=3AE=3x.此时点P与点B重合.在RtCDM和RtENB（P）中， DM=EN，CM=BN，RtC
125、DMRtENB. CD=EP DECP,CD与EP不平形，四边形EDCP是等腰梯形. 直角梯形: 平行四边形： 91. （2011河南省中招押题三，20，9）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于E，交BC于D求证：（1）D是BC的中点；（2）BECADC；（3）BC2=2ABCE【答案】（1）证明：AB是O的直径，ADB=90 ，即AD是底边BC上的高 又AB=AC，ABC是等腰三角形， D是BC的中点； (2) 证明：CBE与CAD是同弧所对的圆周角， CBE=CAD 又 BCE=ACD， BECADC；（3）证明：由BECADC，知，即CDBC=ACCED是BC的中点，C
126、D=BC 又 AB=AC，CDBC=ACCE=BC BC=ABCE即BC=2ABCE 92. （2011河南省中招押题三，22，10）如图,等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD，AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NPBC,垂足为P，NP2.连接AC交NP于Q，连接MQ.若点N运动时间为t秒.求：（1）请用含t的代数式表示PC；（2） 求CMQ的面积S与时间t的函数关系式，（3） 当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？【答案】（1）如图,过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=当
127、动点N运动t秒时，PC1+t. （2）ADBC，NPBCANQ=CPQ=90又AQN=CQPAQNCQP PQ=点M以每秒2个单位运动，BM2t，CM42tSCMQ 当t2时，M运动到C点，CMQ不存在，t2t的取值范围是0t2SCMQ.当S有最大值，最大值是. 93. （2011河南省中招押题六，22，10）如图，ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，ABC=45，点M在边AC上，点N在边BC上，MCN与MPN关于直线MN对称，P是AB上的点.（1）当点P是边AB的中点时，求证：；（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论.CCNMMNPBABAP【答案】（1）连结CP，依
128、据题意得折痕MNCP.AC=BC，AP=BP，CPAB.MNAB，. . （2）当点P不是斜边AB的中点时，仍然成立.证明如下：连结CP，则MNCP.作PEAC于E. ACB=90，PEBC，. 又AC=BC，A=B=45，APE=B=45， AE=PE. MCN=90，CPMN，ECP=MNC. RtMCNRtPEC，. . . 94. （2011广东省四会市一模，24，10）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于E、D两点求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）BC 2=2ABCE【答案】（1）证明：又AB=AC， ABC是等腰三角形， 又AB是O
129、的直径，ADB=90 ，即AD是底边BC上的高 D是BC的中点； (2) 证明：CBE与CAD是同弧所对的圆周角， CBE=CAD 又 BCE=ACD， BECADC； （3）证明：由BECADC，知，即CDBC=ACCE D是BC的中点，CD=BC 又 AB=AC，CDBC=ACCE=BC BC=ABCE即BC=2ABCE ABCOEFD95（2011广东省汕头市模拟，20，9）如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CDAC，连接AD交O于点E，连接BE，BE与AC交于F.（1）判断BE是否平分ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.【答案】（
130、1）BE平分ABC. 理由如下： CDAC，D=CAD. ABCOEFDACB=D+CAD，CAD=ACB ABAC，ABC=ACB EBD=ABC， ABE=EBC，即BE平分ABC. （2）由（1）知ABE=EBC，EBC=CAD，CAD=ABE. AEF=BEA，AEFBEA. . EF=. MCByODPxAEFl（第24题图）G96. （2011广东省汕头市模拟，24，12）如图的平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G（1）求OC和OB的长；（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移
131、动，交轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P设OE =m，PM =h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；（4） 连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，（5） 使得以P、C、F为顶点的三角形和BEM相似？若存在，直接（6） 求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）对于，MCByODPxAElF当=0时，=4；当=0时，解得 点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）OC=4， OB=3 （2）抛物线的对称轴轴，在边PE，PE轴OE =m，点P的横坐标为m点P在抛物线上，点P的纵坐标为PE= 在RtBOC中，tanOB
132、C=在RtBME中，ME=BE tanOBC=（OBOE）tanOBC=（3m）=4m PM = PEME =4+m= h与m的函数关系式为h=（0m3）又h=，0，当m=时，h有最大值为3，PM的最大值为3（3）当m=时，PFCBEM，此时PCM为直角三角形（PCM为直角）； 当m=1时，CFPBEM，此时PCM为等腰三角形（PC=CM）97. （2011福建省南平市模拟，25，12）如图，在ABC中，ABC=CAB=72，将ABC绕点A顺时针旋转度（36180得到ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于 G、F两点（1）求证：ABGFCG；（2）在旋转的过程中，是否存在一
133、个时刻，使得ABG与FCG全等？若存在，求出此时旋转角的大小 【答案】（1）证法一：AED是由ABC绕点A顺时针旋转得到： BAC=DAE=72，BAD=CAE AB=AD,AC=AE ABD=180-BAD=180-CAE=ECA 2 2 又ABGFCG 证法二：AED是由ABC绕点A顺时针旋转得到的： BAC=DAE=72,BAD=CAE,AB=AD,AC=AE AB = AD ，ABDACE,DBA=ECA AC AE 又BGA=CGF,ABGFCG （2） 答：存在（3） 由（1）知ABGFCG，当BG=CG时，ABGFCG（4） ABC=CAB=72,GCB=GBC=36AB=AD,
134、GBA=BDA=36=BAD=10898. （2011安徽省蚌埠市七中自主招生，16，12）如图1：等边可以看作由等边绕顶点经过旋转相似变换得到.但是我们注意到图形中的和的关系，上述变换也可以理解为图形是由绕顶点旋转形成的.于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转形成的. 利用上述结论解决问题：如图2，中，都是等边三角形，求四边形的面积; 图3中, ，仿照上述结论,推广出符合图3的结论.（写出结论即可）BCADEFBACDEBACDE (图1 ) （ 图2 ） （ 图3 ）【答案】 结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为，则该
135、图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转形成的. 99. （2011广东省清远市一模，24，8）如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且.A B C D E F （1）求证：平分；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长.（结果保留根号） 【答案】(1)证明: 四边形ABCD是正方形，AC是对角线 A B C D E F 又 平分 (2)解：四边形ABCD是正方形 B=90o，D=DCE=90o CE=AC= 又AFD=EFCAFDEFC 设，则 OABC100. （2011广东省清远市一模，26，9）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（0，），以点为圆心、为半径画圆，直
136、线与轴、轴分别交于B、C两点，点是轴上的一个动点.（1）求B、C两点的坐标；（2）直线与有那几种位置关系？（3）当直线是的切线时，求点的坐标.【答案】(1)在直线y=x+4中 令y=0,则x=4 点B的坐标为（4，0） 令x=0，则y=4 点C的坐标为（0，4） （2）直线与O有相离、相切、相交三种位置关系 （3）设直线与O相切于点（点在第四象限），交轴于点，连接 则C 把代入得， 点的坐标为（0，4）EB O 在Rt中，PA 在Rt和Rt中， RtRt 即 当点在第三象限，同理， 点的坐标为（，0），（，0）ABCDEO101（2011广东省清远市一模，23，8）如图，已知半径为5cm的O是ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是O的直径若cm，cm求CD的长【答案】如图，连结CE，B=E AE是O的直径，ACE=90 CD是AB边上的高，CDB=90在AEC与CBD中，E =B，ACE=CDB，AECCBD ，即 CD的长为5.4cm
