1、K单元 概率 目录K单元 概率1K1随事件的概率1K2古典概型1K3几何概型8K4 互斥事件有一个发生的概率14K5 相互对立事件同时发生的概率14K6离散型随机变量及其分布列14K7条件概率与事件的独立性21K8离散型随机变量的数字特征与正态分布21K9 单元综合24 K1随事件的概率K2古典概型【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】16（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球现从中同时取出3个球（）求恰有一个黑球的概率；（）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望【知识点】古典概型，分布列
2、 K2 K6【答案】【解析】（） （）的分布列为: 的数学期望（）记“恰有一个黑球”为事件A，则 4分（）的可能取值为，则 2分 2分 2分 的分布列为 的数学期望2分【思路点拨】）的可能取值为，再分别求出，即可.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损（）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176
3、cm的同学被抽中的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图I2 K2【答案】【解析】（）9；（） 解析：(1) 2分4分 解得=179 所以污损处是9.6分(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：181,173，181,176，181,178，181,179，179,173，179,176，179,178，178,173，178,176，176,173共10个基本事件，8分而事件A含有4个基本事件，10分P(A)12分【思路点拨】（）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
4、（）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损（）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同学被
5、抽中的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图I2 K2【答案】【解析】（）9；（） 解析：(1) 2分4分 解得=179 所以污损处是9.6分(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：181,173，181,176，181,178，181,179，179,173，179,176，179,178，178,173，178,176，176,173共10个基本事件，8分而事件A含有4个基本事件，10分P(A)12分【思路点拨】（）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（）设“身高
6、为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】12已知是直角三角形的概率是。【知识点】向量的坐标运算 古典概型 F2 K2【答案】【解析】解析：因为，又因为，所以，在中，若为直角三角形可得，满足条件的有3个，所以所求概率为.故答案为.【思路点拨】根据求得k的集合为共有7个元素，根据直角三角形可得求得满足条件的k有3个，即可得所求概率.【名校精
7、品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(19)（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为，求的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案】【解析】（1）；（2），. 解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此
8、人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以. （2）由题意知的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，所以,所以的分布列为：故. 【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为；（2）由题意得的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，根据组合数公式求得取每个值的概率，从而写出的分布列，进一步求得的期望. 【名
9、校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】18为丰富课余生活，某班开展了一次有奖知识竞赛，在竞赛后把成绩（满分为100分，分数均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（）求的值；（）若得分在之间的有机会得一等奖，已知其中男女比例为23，如果一等奖只有两名，写出所有可能的结果，并求获得一等奖的全部为女生的概率.【知识点】频率分布表；古典概型及其概率计算公式I2 K2【答案】【解析】（）0.1；（） 解析：（）（）记男生为，女生为，所有情况如下： 一共10种情况。P（全是女生）=【思路点拨】（）根据样本容量、频率和频数之间的关系频率=，知二求一得
10、到要求的结果（）本题是一个古典概型，把得分在90，100之间的五名学生分别计为“男甲，男乙，女甲，女乙，女丙”，则事件一等奖只有两名包含的所有事件可以列举出共10个事件，满足条件的事件列举出共3个基本事件，得到结果【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】17(13分)某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？(2)已知y245，z245，求高三年级中女生比
11、男生多的概率【知识点】抽样方法 概率I1 K2【答案】【解析】（1）12 （2）511 解析：（1） 应在高三年级抽取的人数为：;（2） 的可能性是若女生比男生多，则yz，符合条件的有所求的概率为：.【思路点拨】本题主要考察概率的运算以及列举法的应用，列举法一般用在情况较少可列举的题中，用列举法较简单明了.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】16某种零件质量标准分为1，2，3，4，5五个等级。现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n（I）在抽取的20个零件中，
12、等级为5的恰好有2个，求m，n;（II）在（I）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率。【知识点】概率 频率分布表I2 K2【答案】【解析】（1）n=0.1,m=0.35；（2）0.4 解析：（1）由频率分布表得 005 + m + 015 + 035 + n = 1，即 m + n = 045 ，由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得所以m = 04501 = 035（2）由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1、x2、x3，等级为5的零件有2个，记作y1、y2，从x1、x2、x3、y1、y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1
13、，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种.记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”,则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个,故所求概率为.【思路点拨】可结合频率分布表的性质求m,n，利用列举法计算所求事件的概率.K3几何概型【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】12.记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 .【知识点】几何概
14、型K3【答案】【解析】为圆心在原点，半径为4的圆面是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点若在区域内任取一点，则由几何概型可知点M落在区域的概率为.【思路点拨】为圆心在原点，半径为4的圆面是一个直角边为4的等腰三角形，求出面积，再求概率。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】12.记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 .【知识点】几何概型K3【答案】【解析】为圆心在原点，半径为4的圆面是一个直角边为4的等腰三角形，顶点是坐标原点若在区域内任取一点，则由几何概型可知点M落在区域的概率为.【思路点拨】为圆心在原点，半径为
15、4的圆面是一个直角边为4的等腰三角形，求出面积，再求概率。【数学文卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】14随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是_。【知识点】几何概型K3【答案】【解析】本题符合几何概型，由题意作图如下，则点P应落在黑色阴影部分，S=6=12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积S=，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率P=【思路点拨】本题符合几何概型，由题意作图，求面积比即可【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】10在区间和上分别取一个数,
16、记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为 （ ）A B C D 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质H5 K3【答案】【解析】B 解析：表示焦点在x轴上且离心率小于，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为，故选B【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间1，5和2，4分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】16已知，动点满足且，则点到点的
17、距离大于的概率为 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】 解析：，P（a，b），且，且，且，作出不等式组对应的平面区域如图：点P到点C的距离大于，|CP|，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E，|OE|=，正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：A【思路点拨】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】16已知，动点满足且，则点到点的距离大于的概率为 【知识点】几何概型K3【答案】【解
18、析】 解析：，P（a，b），且，且，且，作出不等式组对应的平面区域如图：点P到点C的距离大于，|CP|，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E，|OE|=，正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：A【思路点拨】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】12公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为_ 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】
19、解析：公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L=20，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则LA=5，故，故选C。【思路点拨】由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】11.设，则的概率是_ 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】 解析：由x24解得-2x2又因为x0，4取交集得x0，2所以x24的概率为12，
20、故答案为12.【思路点拨】先确定概率模型，再利用相应公式求概率即可.K4 互斥事件有一个发生的概率K5 相互对立事件同时发生的概率K6离散型随机变量及其分布列【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】16（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球现从中同时取出3个球（）求恰有一个黑球的概率；（）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望【知识点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（） （）的分布列为: 的数学期望（）记“恰有一个黑球”为事件A，则 4分（）的可能取值为，则 2分 2分 2分
21、的分布列为 的数学期望2分【思路点拨】）的可能取值为，再分别求出，即可.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，（）求直方图中的值；（）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【知识点】离散型随
22、机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.K6 K8【答案】【解析】（）；（）有名学生可以申请住宿；（）。 解析：（）由直方图可得：所以 3分 （）新生上学所需时间不少于小时的频率为：， 因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿 6分 （）的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, , 10分 所以的分布列为：01234（或）所以的数学期望为 12分 【思路点拨】（）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值;（）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可;（）求出随机变量X可取得值，利用古
23、典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(19)（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为，求的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案
24、】【解析】（1）；（2），. 解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以. （2）由题意知的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，所以,所以的分布列为：故. 【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为；（2）由题意得的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级
25、为优的天数为5，根据组合数公式求得取每个值的概率，从而写出的分布列，进一步求得的期望. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】17为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（I）当产品中微量元素满足时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（II）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产
26、品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【知识点】抽样方法 离散随机变量的分布列与期望I1 K6【答案】【解析】（I）14； （II） 解析：（I）因为乙厂生产的产品总数为，样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为；（II）由题意知，的分布列为012其均值为.【思路点拨】在求离散随机变量的期望时，一般先确定随机变量的所有取值，再求各个取值的概率，得分布列，用公式求期望即可.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】17为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件
27、和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（I）当产品中微量元素满足时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（II）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【知识点】抽样方法 离散随机变量的分布列与期望I1 K6【答案】【解析】（I）14； （II） 解析：（I）因为乙厂生产的产品总数为，样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为；（II）由题意知，的分布列为012其均值为.【思路点拨】在求离散随机变量
28、的期望时，一般先确定随机变量的所有取值，再求各个取值的概率，得分布列，用公式求期望即可.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】17为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）。下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（I）当产品中微量元素满足时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（II）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产
29、品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）。【知识点】抽样方法 离散随机变量的分布列与期望I1 K6【答案】【解析】（I）14； （II） 解析：（I）因为乙厂生产的产品总数为，样品中优等品的频率为 ，乙厂生产的优等品的数量为；（II）由题意知，的分布列为012其均值为.【思路点拨】在求离散随机变量的期望时，一般先确定随机变量的所有取值，再求各个取值的概率，得分布列，用公式求期望即可.K7条件概率与事件的独立性K8离散型随机变量的数字特征与正态分布【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】5. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于( ) A B C5 D3【知
30、识点】正态分布K8【答案】A【解析】由正态曲线的对称性知, .【思路点拨】由正态曲线的对称性求出。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】5. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于( ) A B C5 D3【知识点】正态分布K8【答案】A【解析】由正态曲线的对称性知, .【思路点拨】由正态曲线的对称性求出。【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】18市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，
31、（）求直方图中的值；（）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.K6 K8【答案】【解析】（）；（）有名学生可以申请住宿；（）。 解析：（）由直方图可得：所以 3分 （）新生上学所需时间不少于小时的频率为：， 因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿 6分 （）的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, , 10
32、分 所以的分布列为：01234（或）所以的数学期望为 12分 【思路点拨】（）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值;（）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可;（）求出随机变量X可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(19)（本小题满分12分）已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)
33、某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为，求的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案】【解析】（1）；（2），. 解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以. （2）由题意知的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，所以,所以的分布列为：故. 【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为；（2）由题意得的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，根据组合数公式求得取每个值的概率，从而写出的分布列，进一步求得的期望. K9 单元综合
