1、E单元不等式目录E单元不等式1E1不等式的概念与性质1E2 绝对值不等式的解法3E3一元二次不等式的解法4E4 简单的一元高次不等式的解法5E5简单的线性规划问题5E6基本不等式24E7 不等式的证明方法31E8不等式的综合应用34E9 单元综合34E1不等式的概念与性质【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】13已知克糖水中含有克糖（），若再添加克糖（），则糖水就变得更甜了试根据这一事实归纳推理得一个不等式【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】解析：b g糖水中有a g糖，糖水的浓度为；b g糖水中有a g糖（ba0），若再添m g糖（m0），则糖水的浓度为
2、；又糖水变甜了，说明浓度变大了，.【思路点拨】b g糖水中有a g糖（ba0），若再添m g糖（m0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即可.【数学理卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】5.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是（）Aac2bc2 BDa2abb2【知识点】不等式比较大小；不等关系与不等式E1【答案】【解析】D解析：选项A，c为实数，取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，ab0，ba0，ab0，即，故选项B不成立；选项C，ab0，取a=2，b=1，则，此时，故选项C
3、不成立；选项D，ab0，a2ab=a（ab）0，a2ababb2=b（ab）0，abb2故选项D正确，故选D【思路点拨】本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论【数学理卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】3.设则（ ）A. B.C.D. 【知识点】比较大小；指数、对数函数的性质.B6 B7 E1【答案】【解析】A解析：因为利用指数、对数函数的性质可得，所以，故选A.【思路点拨】利用指数、对数函数的性质可界定a,b,c的范围，然后比较大小即可。【数学文卷2015届山东省日照一中高三上学期第
4、三次阶段复习质量达标检测（201501）】2如果,那么下列不等式成立的是ABCD【知识点】不等关系与不等式E1【答案】【解析】D解析：由于，不妨令，可得,，故A不正确可得，故B不正确可得，故C不正确故选D【思路点拨】由于，不妨令，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】6. 设，给出下列三个结论：；，其中所有的正确结论的序号是（）.A B. C. D.【知识点】不等式的性质E1【答案】【解析】D解析：，又，正确；由指数函数性质，可得，正确；，而，正确；故选D. 【思路点拨】由不等式性质，结合其他性质，加以计算可得.E2 绝
5、对值不等式的解法【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为【知识点】含绝对值不等式基本不等式E2 E6【答案】【解析】解析：，其最小值为2，又的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1416题）【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围
6、为【知识点】含绝对值不等式基本不等式E2 E6【答案】【解析】解析：，其最小值为2，又的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1416题）E3一元二次不等式的解法【数学理卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】16. （本小题满分12分）已知不等式x-5ax+b0的解集为x|x4或x1.()求实数a,b的值；()若0x1, f(x)=+,求f(x)的最小值.【知识点】基本不等
7、式；一元二次不等式的解法E6 E3【答案】【解析】()；()9解析：()依题意可得,即5分()由()知f(x)=+0x1,01-x0,0,+=(+)x+(1-x)9当且仅当，即x=时,等号成立.f(x)的最小值为9.12分【思路点拨】(I)由三个二次的关系可得，解方程组可得；(II)由(I)知f(x)=+，由基本不等式可得【数学文卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】11不等式的解集为_.【知识点】一元二次不等式的解法E3【答案】【解析】解析：方程的两根为2，1，且函数的图象开口向上，所以不等式的解集为故答案为：【思路点拨】先求相应二次方程的两根，根据
8、二次函数的图象即可写出不等式的解集E4 简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题【数学（理）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】7点是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 zxay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是ABCD第7题图【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B解析：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，,，得a=-1，则表示点P（-1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，取得最大值，最大值是，故选B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=
9、x+ay取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【数学（理）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】7已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A.或1 B2或 C2或1 D2或1【知识点】线性规划E5【答案】【解析】D解析：由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由题意可得与或与平行，故.所以选D.【思路点拨】由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由几何意义
10、可得【数学（理）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】7若实数x、 y满足不等式组则z=| x |+2 y的最大值是（）A1 0 B1 1 C1 3 D1 4【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】D【解析】当x时，2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系，当过点（1,5）时，截距最大，此时z最大，=1+2=11，当x0时，2y=x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系, 当过点（-4,5）时，=4+2=14.【思路点拨】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】22.（14分）
11、已知函数f(x),其图像记为曲线C.(1) 若f(x)在x=1处取得极值-1，求b,c的值；(2) 若f(x)有三个不同的零点，分别为，且过点O作曲线C的切线，切点为（点A异于点O）证明：；若三个零点均属于区间，求的取值范围.【知识点】函数的零点；导数的几何意义；导数的应用；线性规划. B9 B11 B12 E5【答案】【解析】（1）b=1,c= -1；（2）证明：见解析，（-1，0）.解析：(1),由题意，有，经检验此时，f(x)在x=1处取极小值，因此，b=1,c= -1.（2）证明：切线斜率k=，则切线方程为：，化简得：由于切线过原点O，所以：，因为点A异于点O，所以，又有三个不同零点，
12、分别为0，则为方程的两个不同的根，由韦达定理得：因此，由知，为方程的两个不同的根，令，由（0,2），知：函数g(x)图像与x轴在（0,2）范围内有两个不同交点，所以这个不等式组对应的点(b,c)形成的平面区域如图阴影部分所示：又，令目标函数，则，于是问题转化为求抛物线的图像在y轴上截距的取值范围，结合图像，截距分别在曲线段OM，N（2,0）处取上、下界，则z（-4,0），因此，. 【思路点拨】(1)由f(x)在x=1处取得极值-1得关于b,c的方程组求解；（2）由导数的几何意义及直线方程的点斜式得以A为切点的切线方程，由此切线过原点证得结论. 由及二次方程的实根分布理论的关于b,c的不等式组，
13、再利用线性规划思想求的取值范围.【典例剖析】本题第三问的求解是较典型的解法，采用了线性规划的解题思想，把求的取值范围问题，转化为了求纵截距范围问题.【数学（文）卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】5.若关于x,y的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为A 1 B 2 C 3 D 4【知识点】线性规划问题. E5 【答案】【解析】A解析：当过定点（0,1）的直线与直线x=0或x+y=0垂直时，关于x,y的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，此时k=0或k=1，由于k为正数，所以k的值为1，故选A. 【思路点拨】画出简图，分析直线与直线x=0，x+y
14、=0的位置关系得结论. 【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】7点是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是ABCD第7题图【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B解析：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行，,，得a=-1，则表示点P（-1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，取得最大值，最大值是，故选B【思路点拨】由题设条件，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，
15、故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【数学（文）卷2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】13已知点M的坐标满足不等式组则的取值范围是_.【知识点】简单的线性规划E5 【答案】【解析】解析：由不等式组画出可行域为：令，目标函数为，可知当直线与y轴的交点最小时，为目标函数的最大值，此时过点，最大值为，当直线与y轴的交点最大时，为目标函数的最小值，此时过点，最大值为，所以的取值范围是故答案为.【思路点拨】根据已知的线性条件画出可行域，目标函数为，当直线与y轴的交点最小时，为
16、目标函数的最大值，当直线与y轴的交点最大时，为目标函数的最小值，即可得到结果. 【数学（文）卷2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考（201501）】7若实数x、 y满足不等式组则z=| x |+2 y的最大值是（）A1 0 B1 1 C1 3 D1 4【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】D【解析】当x时，2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系，当过点（1,5）时，截距最大，此时z最大，=1+2=11，当x1，x-10，当且仅当x=2时等号成立，所以的最小值是3. 【思路点拨】利用基本不等式法求函数的最小值. 【数学（文）卷2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201
17、501）】17已知函数若，使成立，则实数的取值范围为；若，使得，则实数的取值范围为【知识点】函数的值域基本不等式B3 E6【答案】【解析】3,+);解析：因为，当且仅当x=2时等号成立，所以若，使成立，则实数的取值范围为3,+);因为当x2时,f(x)3，g(x),若，使得，则，解得a【思路点拨】可转化为函数的值域问题进行解答；可转化为两个函数的值域关系进行解答.【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为【知识点】含绝对值不等式基本不等式E2 E6【答案】【解析】解析：，其最小值为2，又的最大值为1，故
18、不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1416题）【数学理卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】13不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为【知识点】含绝对值不等式基本不等式E2 E6【答案】【解析】解析：，其最小值为2，又的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式
19、恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1416题）【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】15、已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为。【知识点】简单的线性规划 基本不等式E5 E6【答案】【解析】7解析：不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC对应的区域，显然当动直线经过点A时，目标函数取得最大值，而A点坐标为(3,4)，则有3a+4b=7,所以.【思路点拨】先数形结合找出目标函数取得最大值时对应的点，再利用基本不等式求最小值即可.【数学理卷2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】15、已知满
20、足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为。【知识点】简单的线性规划 基本不等式E5 E6【答案】【解析】7解析：不等式组表示的平面区域如图为三角形ABC对应的区域，显然当动直线经过点A时，目标函数取得最大值，而A点坐标为(3,4)，则有3a+4b=7,所以.【思路点拨】先数形结合找出目标函数取得最大值时对应的点，再利用基本不等式求最小值即可.【数学理卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】16. （本小题满分12分）已知不等式x-5ax+b0的解集为x|x4或x1.()求实数a,b的值；()若0x1, f(x)=+,求f(x)的最小值.【知识点】基
21、本不等式；一元二次不等式的解法E6 E3【答案】【解析】()；()9解析：()依题意可得,即5分()由()知f(x)=+0x1,01-x0,0,+=(+)x+(1-x)9当且仅当，即x=时,等号成立.f(x)的最小值为9.12分【思路点拨】(I)由三个二次的关系可得，解方程组可得；(II)由(I)知f(x)=+，由基本不等式可得【数学理卷2015届山东省日照一中高三上学期第三次阶段复习质量达标检测（201501）】14已知x0，y0，且=1，若x+2ym2+2m恒成立，则实数m的取值范围. 【知识点】函数恒成立问题E6【答案】【解析】解析：=1，恒成立，求得故答案为：【思路点拨】先把转化为展开
22、后利用基本不等式求得其最小值，然后根据求得，进而求得m的范围【数学理卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】11.抛物线（）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ( )A. B. 1C. D.2【知识点】抛物线重要不等式H7 E6【答案】【解析】A解析：如下图所示，设.则，所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得.【数学文卷2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】12.抛物线（）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，
23、垂足为，则的最大值为( )A. B. 1C. D.2【知识点】抛物线重要不等式H7 E6【答案】【解析】A解析：如下图所示，设.则，所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得.【数学卷2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】9.已知的最小值为则的值为【知识点】基本不等式.E6【答案】【解析】4解析：，当且仅当时取等号，解得故答案为：4【思路点拨】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出E7 不等式的证明方法【数学理卷2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版 (自动保存的)】21.设函数（I）若，求函数的极值；（II）若函
24、数存在两个零点,求的取值范围； 求证：(e为自然对数的底数)【知识点】导数的应用；方程的解；不等式的证明. B12 E7【答案】【解析】（I）函数f(x)的极小值，无极大值；（II）（1）解析：（I）依题意得：x（0，+），令得，令得，则函数f(x)在上单调递减，在上单调递增. 为函数f(x)的极小值；无极大值. （II）（1）由=0，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，令，即；又根据零点存在性定理可知：f(x)在和各有一个零点. （2）不妨设，依题意得：-得：，+得：，设，欲证，只要证：，即证：，即证：，设g(t)=, g(t)在（1，+）上递增，g(t)g(1)=0，. 【思路点拨】（
25、I）先求导函数为零的根，再判断根两边导函数值的符号，从而确定函数的极值情况；（II）（1）利用导数推得结论.（2）不妨设，依题意得：-得：， +得：，设，下面考虑分析法：欲证，只要证：，即证：，即证：，设g(t)=, g(t)在（1，+）上递增，g(t)g(1)=0，. E8不等式的综合应用【数学文卷2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】15给机器人输入一个指令（m0），则机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走距离m，接着原地逆时针旋转90再面向y轴正方向行走距离，这样就完成一次操作机器人的安全活动区域是：开始时机器人在函数图象上的点P处且面向x，轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数图象上，则向量的坐标是 . .【知识点】指数函数综合题基本不等式 B6 E8 【答案】【解析】解析：由题意可设，则Q为在安全区域，又因为，整理可得：又因为，又因为当成立时等号取到故答案为.【思路点拨】先将点P、Q设出，根据两点均在安全区域内可得到x0+m6，然后根据题中所给关系，找到对应等式由基本不等式可确定其值E9 单元综合
