1、1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。所谓“分类变量”，就是指个体所属的类别不同，也称为属性变量或定型变量。在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响等等。吸烟与患肺癌列联表患肺癌不患肺癌总计吸烟4920992148不吸烟4277757817总计9198749965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表22在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是0.54%2.28%1)通过图形直观判断三维
2、柱状图2)通过图形直观判断二维条形图3)通过图形直观判断患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图问题1：判断的标准是什么？吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患病有关”的判断？问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？独立性检验H0：吸烟和患肺癌之间没有关系通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关结论的可靠程度如何？吸烟与患肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d吸烟的人中不患肺癌的比例：不吸烟的人中不患肺癌的比例：若H0成立引入一个
3、随机变量：卡方统计量作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准。通过公式计算吸烟与患肺癌列联表患肺癌不患肺癌总计吸烟4920992148不吸烟4277757817总计9198749965已知在成立的情况下，故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。即在成立的情况下，大于6.635概率非常小，近似为0.010现在的=56.632的观测值远大于6.635，出现这样的观测值的概率不超过0.010。a+b+c+db+da+c总计c+ddca+bba总计一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：即类和（如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：即类和（如患病与不患
4、病）。于是得到下列样本频数的22列联表为：用卡方统计量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类变量的独立性检验。要推断“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：（1）提出假设H0：X和Y没有关系；（3）查对临界值，作出判断。（2）根据22列联表与公式计算的值；10.8287.8796.6355.0243.8410.0010.0050.0100.0250.052.7062.0721.3230.7080.4550.100.150.250.400.50P（）反证法原理与假设检验原理反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。假设检验原理：在一个已知
5、假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?秃顶与患心脏病列联表患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”说明：在熟悉独立性检验的原理后，可以通过直接计算K的观测值（不画等高条形图）来解决两个分类变量的独立性检验问题，但是，借助图形更直观。犯错误的概率是指将“秃顶
6、与患心脏病有关系”错判成“秃顶与心脏病没有关系”的概率例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系。在某城市的某校高中生随机抽取300名学生。得到如下列联表：性别与喜欢数学课程列联表喜欢不喜欢总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得到K2的观测值k4.514。能够以95的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下，应该很小，并且而我们所得到的的观测值超过3.841，这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜
7、欢数学课程之间有关系”。练习:(P17)甲乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后,得到如下列联表:优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390画出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是否有关.利用列联表的独立性检验估计,认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少。由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”，由表中数据计算，得的观察值为。由教科书中表1-12，得从而由50%的把握认为“成绩优秀与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%优秀不优秀列联表的条形图：作业：P16 习题1.2 1,2
