1、第八章 立体几何 第38节 直线、平面平行的判定与性质考纲呈现 1掌握线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的平行关系的简单命题 2高考的重点考查内容之一，主要以几何体为载体考查线线、线面、面面平行的判定和性质.诊断型微题组 课前预习诊断双基1直线与平面平行的判定定理和性质定理 2平面与平面平行的判定定理和性质定理 3必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别和第三个
2、平面平行，那么这两个平面互相平行(6)如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行 1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件 2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件 3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 1下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是()ABCD【答案】A【解析】如图所示，取棱 BC 的中点 Q，连接 MQ，PQ，NQ，可得四边形 MNPQ 为正方形，且ABNQ，而NQ平面MNPQ，AB平面MNPQ，AB平面MNPQ，因此正确
3、由正方体可得：前后两个侧面平行，因此AB平面MNP，因此正确 故选A.2已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mn C若m，mn，则n D若m，mn，则n【答案】B【解析】若m，n，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；B正确；若m，mn，则n或n，故C错误；若m，mn，则n与可能平行、相交或n，故D错误因此选B.3(必修2P58练习T3改编)平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，a B存在一条直线a，a，a C存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【答案】D【解析】若l，al，a，a，
4、a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除C.故选D.4(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_【答案】平行【解析】连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，点E，O分别是DD1，BD的中点，则EOBD1，又因为EO平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.形成型微题组 归纳演绎形成方法 直线与平面平行的判定与性质命题角度1 直线与平面平行的判定 (2018甘肃张掖模拟)如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点(1)
5、证明：AD1平面BDC1；(2)证明：BD平面AB1D1.【证明】(1)D1，D 分别为 A1C1，AC 的中点，四边形 ACC1A1 为平行四边形，C1D1 綊 DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连接D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D.又D1，D分别为A1C1，AC的中点，BB1DD1.故四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1.又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1.命题角度2 直线与平面平行的性质 (
6、2018海南中学模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积(1)【证明】因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)【解】如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC.同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面G
7、EFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD，所以POGK，所以GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF，所以GK是梯形GEFH的高 由AB8，EB2，得EBABKBDB14，从而KB14DB12OB，即K为OB的中点 再由POGK，得GK 12 PO，即G是PB的中点，且GH 12 BC4.由已知可得OB42，POPB2OB2 6832 6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGHEF2GK482 318.微技探究 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，a
8、ba)(3)利用面面平行的性质(，a)(4)利用面面平行的性质(，a，a，a)1(2018河北故城期中)在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.【证明】(1)如图，连接EC，ADBC，BC12AD，E为AD的中点，BC綊AE.四边形ABCE是平行四边形O为AC的中点又F是PC的中点，FOAP.又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)如图，连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD.又PD平面PAD，FH平面PAD，FH平
9、面PAD.O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD.AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.GH平面OHF，GH平面PAD.2(2018福建闽侯第八中学期末)如图，在直角梯形ABCD中，ADCBAD90，ABAD1，CD2，平面SAD平面ABCD，平面SDC平面ABCD，SD 3，在线段SA上取一点E(不含端点)使ECAC，截面CDE交SB于点F.(1)求证：EFCD；(2)求三棱锥SDEF的体积【证明】CDAB，AB平面SAB，CD平面SAB，CD平面SAB.又平面CDEF平面SABEF，CDEF.(2)【解】CDAD，平面SAD平面ABCD，平面
10、SAD平面ABCDAD，CD平面SAD.又SD平面SAD，CDSD，同理ADSD.由(1)知EFCD，EF平面SAD.ECAC，ADCEDC90，ADCEDC，EDAD.在RtSDA中，AD1，SD3，SAD60，又EDAD1，E为SA的中点，EF12AB12，SED的面积12SSDA 34，VSDEFVFSDE13SSDEEF13 34 12 324.平面与平面平行的判定与性质(2018浙江温州四校联考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点 求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)G，H分别
11、是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形 A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.微技探究 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利用垂直于同一条直线的两个
12、平面平行(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 (2019四川乐山一中调研)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分别是CE和CF的中点(1)求证：平面BDGH平面AEF；(2)求多面体ABCDEF的体积(1)【证明】在CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GHEF.又因为GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OH，如图 在ACF中，因为O，H分别是AC，CF的中点，所以OHA
13、F.又因为OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.因为OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(2)【解】因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.平面ABCD平面BDEFBD，AC平面ABCD，且平面ABCD平面BDEF，所以AC平面BDEF，又易知AO 2，S矩形BDEF32 26 2，所以四棱锥ABDEF的体积V113AOS矩形BDEF4.同理可得四棱锥CBDEF的体积V24.所以多面体ABCDEF的体积VV1V28.平行关系的综合应用(2018河南开封模拟)如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点(1)求证：BE
14、平面DMF；(2)求证：平面BDE平面MNG.【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO.又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN.又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又因为M为AB的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN.又BD平面MNG,MN平面MNG.所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.微技探究 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，
15、常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 如图所示，平面平面，点A，点C，点B，点D，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEBCFFD.(1)求证：EF平面；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC4，BD6，且AC，BD所成的角为60，求EF的长(1)【证明】当AB，CD在同一平面内时，由平面平面，平面平面ABDCAC，平面平面ABDCBD，知ACBD.AEEBCFFD，EFBD，又EF，BD，EF平面.当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD平面DH，且DHAC，平面平面，平面平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，在AH上取一点G，使AGGHCFFD，
16、连接EG，FG，BH.又AEEBCFFDAGGH，GFHD，EGBH.又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.又EF平面EFG，EF平面.综合可知，EF平面.(2)如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点 MEBD，MFAC，且ME12BD3，MF12AC2.EMF为AC与BD所成的角或其补角，EMF60或120.在EFM中，由余弦定理得 EF ME2MF22MEMFcosEMF 322223212 136，即EF 7或EF 19.综合应用 平行关系中的探索性问题【典例】在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证
17、明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论(1)【证明】因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)【解】如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，OM，设O为A1C，AC1的交点 由已知可知O为AC1的中点 连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1
18、的中位线 所以MDAC，MD 12 AC，OEAC，OE 12 AC.因此MDOE且MDOE.从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC，即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.微技探究 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明(2018广东揭阳校级模拟)如图，三棱柱AB
19、CA1B1C1中，AA1平面ABC，D，E分别为A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF14AB.(1)求证：EF平面BDC1；(2)在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由(1)【证明】取AB的中点M，AF14AB，F为AM的中点又E为AA1的中点，EFA1M.在三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，A1DBM，A1DBM，A1DBM为平行四边形，AMBD，EFBD.BD平面BC1D，EF平面BC1D，EF平面BC1D.(2)【解】设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割
20、成两部分的体积之比为115，则VEAFGVABCA1B1C1116，VEAFGVABCA1B1C1 1312AFAGsinGAFAE12ABACsinCABAA1 131412AGAC 124AGAC 124AGAC 116，AGAC32，AG32ACAC.所以符合要求的点G不存在 目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2017江苏，15)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【证明】(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC
21、，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.2(2016 江苏，16)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：】(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，
22、因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.
