1、18.2.3正方形知能演练提升一、能力提升1.四个角相等,四条边也相等的四边形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为()A.8B.10C.217D.823.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件AB=BC;ABC=90;AC=BD;ACBD中选两个作为补充条件,使ABCD成为正方形,如图,现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.B.C.D.4.如图,将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,An分别是正方形对角线的交点,则n个这样的正方形重叠
2、部分的面积和为()A.14 cm2B.n4 cm2C.n-14 cm2D.14n cm25.矩形各内角平分线若能围成一个四边形,则这个四边形一定是.6.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若BAE=56,则CEF=.7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AMDF.8.如图,在正方形ABCD中,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:四边形BEDF是菱形.9.如图,正方形ABCD,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DEAG于点E,BFDE
3、,且交AG于点F.(1)求证:AF-BF=EF;(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形?如果可能,请指出此时点G的位置,如果不可能,请说明理由.10.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分AOC交AC于点D,OF平分COB,CFOF于点F.(1)求证:四边形CDOF是矩形;(2)当AOC为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.二、创新应用11.如图,在正方形ABCD中,P是BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F.图图(1)证明PC=PE;(2)求CPE的度数;(3)如图,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当ABC=120时,连接C
4、E,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.知能演练提升一、能力提升1.A四个角相等的四边形是矩形,四条边相等的四边形是菱形,既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形,故选A.2.B连接BM交AC于点N(图略),此时DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+CM2=10.3.B4.C5.正方形6.22在正方形ABCD中,BAD=ADF=90,BAE=56,DAF=34,DFE=56.AD=CD,ADE=CDE,DE=DE,ADECDE(SAS),DCE=DAF=34.DFE是CEF的外角,CEF=DFE-DCE=56-34=22.7.证明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,ACBD
5、,AOE=DOF=90,OAE+AEO=90.又DE=CF,OE=OF,AOEDOF.AEO=DFO,OAE+DFO=90.AMF=90,AMDF.8.证明四边形ABCD是正方形,AB=AD=CD=BC,DAE=BAE=BCF=DCF=45.在ABE和ADE中,AB=AD,BAE=DAE,AE=AE,ABEADE(SAS),BE=DE.同理可得BFCDFC,BF=DF.在ABE和CBF中,AB=BC,BAE=BCF,AE=CF,ABECBF(SAS),BE=BF,BE=BF=DE=DF,四边形BEDF是菱形.9.(1)证明四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAF+DAE=90.DEAG,DA
6、E+ADE=90,ADE=BAF.又BFDE,BFA=AED=90,ABFDAE(AAS),AE=BF,AF-BF=AF-AE=EF.(2)解不可能,理由是:如图,若要四边形BFDE是平行四边形,已知DEBF,则当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形.DE=AF,BF=AF,即此时BAF=45,而点G不与B和C重合,BAF45,矛盾,四边形BFDE不可能是平行四边形.10.(1)证明OD平分AOC,OF平分COB,AOC=2COD,COB=2COF.AOC+BOC=180,2COD+2COF=180,COD+COF=90,DOF=90.OA=OC,OD平分AOC,ODAC,CDO=90.C
7、FOF,CFO=90,四边形CDOF是矩形.(2)解当AOC=90时,四边形CDOF是正方形.理由:当AOC=90时,AD=DC,OD=DC.四边形CDOF是矩形,四边形CDOF是正方形.当AOC=90时,四边形CDOF是正方形.二、创新应用11.(1)证明四边形ABCD是正方形,AD=CD,ADP=CDP.DP=DP,ADPCDP.PA=PC.又PA=PE,PC=PE.(2)解ADPCDP,DAP=DCP.PA=PE,DAP=E.FCP=E.PFC=DFE,EDF=90,CPE=EDF=90.(3)解AP=CE.理由:四边形ABCD是菱形,ABC=120,ADC=120.EDC=60.同理可得CPE=EDF=60.又PC=PE,PCE是等边三角形.PA=PE,AP=CE.
