1、17.1勾股定理第1课时勾股定理知能演练提升一、能力提升1.如图,在RtABC中,A=90,BD平分ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是()A.3B.4C.5D.92.一株美丽的勾股树如图所示,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.943.在直线l上依次摆着几个正方形(如图),已知斜放的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放的四个正方形的面积分别是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于()A.3B.4C.5D.64.如图,在33的网格
2、中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是ABC的高,则BD的长为()A.101313B.91313C.81313D.713135.如图,在ABC中,B=90,AB=3,AC=5,将ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则ABE的周长为.6.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=.7.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图甲所示,它是由四个全等的直角三角形围成的.在RtABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图
3、乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.8.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图),直角三角形的两直角边长分别为a,b(ab),斜边长为c.(1)请你运用本图验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,那么试求(a+b)2的值.9.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BPC是等边三角形,求CDP与BPD的面积.二、创新应用10.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图或图摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理
4、.下面是小聪利用图证明勾股定理的过程:图图将两个全等的直角三角形按图所示摆放,其中DAB=90,求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作边BC上的高DF,则DF=EC=b-a.S四边形ADCB=SACD+SABC=12b2+12ab,又S四边形ADCB=SADB+SDCB=12c2+12a(b-a),12b2+12ab=12c2+12a(b-a),a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图所示摆放,其中DAB=90.求证:a2+b2=c2.知能演练提升一、能力提升1.A2.C3.B由勾股定理,得S1+S2=1,S3+S4=3,所以S1+S2+S3
5、+S4=1+3=4.4.D由勾股定理,得AC=22+32=13,SABC=33-1212-1213-1223=72,12ACBD=72,13BD=7,BD=71313.5.7由勾股定理,得BC=4,ABE的周长为AB+BC=3+4=7.6.20ACBD,AOD=AOB=BOC=COD=90.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AD2+BC2.AD=2,BC=4,AB2+CD2=22+42=20.7.76外围风车的短边长为6,所以长边长为52+122=13.所以风车的外围周长是(6+13)4=76.8.解(
6、1)大正方形的面积为c2,中间部分小正方形的面积为(b-a)2,四个直角三角形的面积和为412ab.由图形关系,知大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,即有c2=(b-a)2+412ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2.(2)由大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,得每个直角三角形的面积是3,即12ab=3,则ab=6.c2=13,a2+b2=13.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.(a+b)2=25.9.解作PEBC,PFDC,垂足分别为E,F,如图.PBC是等边三角形,BP=PC=BC=2,PCF=90-60=30,PF=12PC=1.SCDP=12CDPF=1221=1.在RtPBE中,BE=1,BP=2,PE=PB2-BE2=22-12=3,SPBC=12BCPE=1223=3.SBPD=SPBC+SPCD-SBCD=3+1-1222=3+1-2=3-1.二、创新应用10.证明如图,连接DB,过点B作边DE上的高BF,则BF=b-a.S五边形ACBED=SACB+SABE+SADE=12ab+12b2+12ab,又S五边形ACBED=SACB+SABD+SBDE=12ab+12c2+12a(b-a),12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),a2+b2=c2.
