1、专题二 函数、不等式、导数 高考领航摸清规律 预测考情.解题必备 解题方略 限时规范训练 走进高考 考点一 函数的图象与性质 1有关函数的奇偶性问题(1)若 f(x)是奇函数，且 x0 有意义时，则 f(0)0；(2)奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，奇奇奇，偶偶偶2有关函数的对称性问题(1)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线 xa 对称；(2)若 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称；(3)若 f(xa)为奇函数f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(xa)为偶函数f(x)的图象关于直线
2、 xa 对称3有关函数的周期性问题(1)若函数 yf(x)的图象有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 yf(x)必是周期函数，且一个周期为 T2|ab|；(2)若函数 yf(x)的图象有两个对称中心 A(a,0)，B(b,0)(ab)，则函数 yf(x)必是周期函数，且一个周期为 T2|ab|；(3)如果函数 yf(x)的图象有一个对称中心 A(a，c)和一条对称轴 xb(ab)，则函数 yf(x)必是周期函数，且一个周期为 T4|ab|；(4)若函数 f(x)满足f(x)f(ax)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数；(5)若 f(xa)1fx(a0)恒成立，则 T2a；(6)若 f
3、(xa)1fx(a0)恒成立，则 T2a.类型一 函数的概念及表示典例 1(1)已知函数 f(x)2x12，x1，log2x1，x1，且 f(a)3，则 f(6a)()A74 B54C34D14A解析：通解：(讨论 a 的取值，计算 f(a)，并求 a)当 a1 时，f(a)2a123，即 2a11，不成立，舍去；当 a1 时，f(a)log2(a1)3，即 log2(a1)3，得 a1238，a7，此时 f(6a)f(1)22274.故选 A.优解：(根据分段函数值域，确定 a 的范围)2x10，当 x1 时，2x122，故 a1.log2(a1)3，a7，f(6a)f(1)22274，故选
4、 A.(2)设函数 f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，函数 g(x)是二次函数，若函数 f(g(x)的值域是0，)，则函数 g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)C解析：优解：(数形结合法)因为函数 f(x)mx2，|x|1，x，|x|1的图象过点(1,1)，所以 m11，解得 m0，所以 f(x)x2，|x|1，x，|x|1.画出函数 yf(x)的图象如图所示，由于函数 g(x)是二次函数，值域不会是选项 A，B，易知，当 g(x)的值域是0，)时，f(g(x)的值域是0，)故选 C.母题变式在本例(2)中，函数 yf(x21)的值域如何求
5、？解析：设 tx21，t1，f(t)t21.所以函数 yf(x21)的值域为1，)，选 D.1(1)形如 f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解即“分段归类”“数形结合”为常用技巧方法2求函数值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函数解析式的范围，得到函数的值域；(2)配方法，转化为二次函数的最值求解；(3)分离常数法，对于探求形如 yaxbcxd(c0)的值域，常把其分子分离成不含自变量 x 的形式；(4)换元法，通过换元转化成熟悉的函数；(5)单调性法，此法需先确定函数在定义域上(或某个定义域子集
6、上)的单调性；(6)图象法，若函数解析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等，可用数形结合的方法求其值域；(7)基本不等式法，对于探求形如 yxkx(k0)的值域，常用基本不等式求解；(8)导数法，先利用导数判断其单调性，再求其值域自我挑战1已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为()A(1,1)B.1，12C(1,0)D.12，1B解析：选 B.由已知得12x10，解得1x12，所以函数 f(2x1)的定义域为1，12，故选 B.2设函数 f(x)1log22x，x1，2x1，x1，f(2)f(log212)()A3B6C9D12C解析：通解：选 C.21，f(2
7、)1log22(2)3；log2121，f(log212)2log21212log266.f(2)f(log212)9.优解：由 f(2)3，f(2)f(log212)3 排除 A.由于 log2121，要用 f(x)2x1 计算，则 f(log212)为偶数，f(2)f(log212)为奇数，只能选 C.类型二 函数的图象及应用典例 2(1)(2016高考全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x 与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则mi1(xiyi)()A0BmC2mD4mB解析：(利用图象的对称性求解)因为 f(x
8、)2f(x)，所以 f(x)f(x)2.因为xx20，fxfx21，所以函数 yf(x)的图象关于点(0,1)对称 函数 yx1x 11x，故其图象也关于点(0,1)对称 所以函数 yx1x 与 yf(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i1mxi0，i1myi2m2m，所以i1m(xiyi)m.故选 B.(2)(2016高考全国卷)函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为()D解析：利用导数研究函数 y2x2e|x|在0,2上的图象，再利用奇偶性判断 f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又 f(2)8e2(0,1)
9、，故排除 A，B.设 g(x)2x2ex，则 g(x)4xex.又 g(0)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.识别函数图象的方法基本方法有：(1)直接法(直接求出函数的解析式并作出其图象)；(2)特例排除法(其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点)；(3)性质验证法自我挑战3已知函数 f(x)|log3x|，0 x3，13x2103 x8，x3，若存在实数 a、b、c、d，满足 f(a)f(b)f(c)f(d)，其中
10、dcba0，则 abcd的取值范围是()A(21,25)B(21,24)C(20,24)D(20,25)B解析：选 B.画出 f(x)的图象，如图由图象知 0a1，1b3，则 f(a)|log3a|log3a，f(b)|log3b|log3b，f(a)f(b)，log3alog3b，ab1.又由图象知，3c4，d6，点(c，f(c)和点(d，f(d)均在二次函数 y13x2103 x8 的图象上，故有cd2 5，d10c，abcdc(10c)c210c(c5)225，3c4，21(c5)22524，即 21abcd24.故选 B.4如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象()Ay2xx21By2
11、xsin x4x1Cy(x22x)exDy xln xC解析：选 C.A 中，y2xx212x(x21)，当 x 趋向于时，2x 的值趋向于 0，x21 的值趋向于，当 x 趋向于时，函数 y2xx21 的值趋向于，A中的函数不符合；B 中，ysin x 是周期函数，函数 y2xsin x4x1的图象是在 x 轴附近的波浪线，B 中的函数不符合；D 中，y xln x的定义域是(0,1)(1，)，D 中函数不符合故选 C.类型三 函数性质的应用典例 3(1)设函数 f(x)ln(1|x|)11x2，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是()A.13，1 B.，13(1，)C.13
12、，13D.，13 13，A解析：通解：利用函数性质去掉“f”得一般不等式求解 函数 f(x)ln(1|x|)11x2，所以 f(x)f(x)，故 f(x)为偶函数又当 x(0，)时，f(x)ln(1x)11x2，f(x)是单调递增的，故 f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得13x1，故选 A.优解：(特值验证法)当 x0 时，f(x)在(0，)上为增函数，取 x12，有 f 12 f 2121 适合不等式，再取 x1 有 f(1)f(211)不适合不等式，故选 A.(2)(2016高考全国卷)若 ab1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbc
13、blogacDlogaclogbcC解析：通解：利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解 对于选项 A，考虑幂函数 yxc，因为 c0，所以 yxc 为增函数，又 ab1，所以 acbc，A 错对于选项 B，abcbac bacba，又 ybax是减函数，所以 B 错对于选项 D，由对数函数的性质可知 D 错，故选 C.优解：取特殊值验证令 a4，b2，c12可逐渐排除选C.自我挑战5定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 018)()A336 B339C1 678D2 018B解析：
14、选 B.由题意知函数为周期函数，且周期 T6，且 f(1)1，f(2)2，f(3)f(36)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，又 2 01833662，f(1)f(2)f(3)f(2 018)336f(1)f(2)f(6)f(1)f(2)336112339，故选 B.6设函数 f(x)log12(x21)83x21，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 的解集为()A(0,2 B.12，2C2，)D.0，12 2，)B解析：选 B.f(x)的定义域为 R，f(x)log12(x21)83x21f(x)，f(x)为 R 上的偶函数 易知其在区间0，
15、)上单调递减，令 tlog2x，所以 log12xt，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 可化为 f(t)f(t)2，即 2f(t)2，所以 f(t)1，又f(1)log122 8311，f(x)在0，)上单调递减，在 R上为偶函数，f(|t|)f(1)，|t|1，1t1，即 log2x1,1，x12，2，故选 B.1(2016高考全国卷)已知 a243，b425，c2513，则()AbacBabcCbcaDcabA解析：选 A.因为 a243423，c2513523，函数 yx23在(0，)上单调递增，所以 423523，即 ac，又因为函数 y4x 在 R 上单调递增，所以 4
16、25423，即 ba，所以 bac，故选 A.2(2017高考全国卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2,2B1,1C0,4D1,3D解析：选 D.f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选 D.3(2015高考课标卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y
17、f(x)的图象大致为()B解析：选 B.当点 P 与 C、D 重合时，易求得 PAPB1 5；当点 P 为 DC 中点时，PAPB2PA2 2.显然，1 52 2，故当 x2时，f(x)不取最大值，故 C、D 选项错误当 x0，4 时，f(x)tan x 4tan2x，不是一次函数，排除 A.故选 B.4(2016高考全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(2x)，若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1mxi()A0BmC2mD4mB解析：通解：选 B.由 f(x)f(2x)知 f(x)的图象关于直线 x1对称，又函
18、数 y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1对称，所以这两个函数的图象的交点也关于直线 x1 对称不妨设 x1x2xm，则x1xm21，即 x1xm2，同理有 x2xm12，x3xm22，又i1mxixmxm1x1，所以 2mi1xi(x1xm)(x2xm1)(xmx1)2m，所以i1mxim.优解：取特殊函数 f(x)0(xR)，它与 y|x22x3|的图象有两个交点(1,0)，(3,0)，此时 m2，x11，x23，故mi1xi2m，只有 B 选项符合5(2017高考全国卷)设函数 f(x)x1，x0，2x，x0，则满足f(x)f x12 1 的 x 的取值范围是_解析：由题意知，可对不等式分x0,012三段讨论 当x0时，原不等式为x1x121，解得x14，14x0.当01，显然成立 当x12时，原不等式为2x2x121，显然成立 综上可知，x14.答案：14，6(2017高考全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_.优解：f(2)f(2)2(2)3(2)212.解析：通解：令 x0，则x0)f(2)2232212.答案：12点击进入word版：限时规范训练把握高考微点，实现素能提升
