1、桂林市第十八中学2013级高三第一次月考数学(理)第I卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则( )A.1,4 B.-1,-4 C.0 D.2.已知复数(为虚数单位),则等于()A. B. C. D.3.设A,B是两个集合,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.在等差数列中,已知,则=( )A.10 B.18 C.20 D.285.设,函数,则( )A. B.4 C. D.66.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为( )A. B. C
2、. D.7.直线与圆相交于A,B两点,则弦|AB|=( )A. B. C. D.8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.49.点A,B,C,D均在同一球面上,且AB,AC,AD两两垂直,且AB=1,AC=2,AD=3,则该球的表面积为( )A. B. C. D.10.函数的图像是( ) 11.已知分别是椭圆的左,右焦点,现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过的直线是圆的切线,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.12.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则( )A. B.C.
3、 D.第II卷二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量,若存在实数,使得,则实数为_.14.已知变量满足约束条件,则的最大值是_.15.若 ，则.(用数字作答)16.数列中,且对所有,满足,则_.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,.求ACD的面积;若,求AB的长.18.(本小题满分12分)某班50位学生2015届中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:.求图中x的值;从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为,求
4、的数学期望.19.(本小题满分12分)已知正方体的棱长为2,是AC的中点,E是线段上一点,且.求证:AC;若平面CDE平面,求的值,并求二面角E-CD-A的余弦值.20.(本小题满分12分)如图,已知点是离心率为的椭圆C:()上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.求椭圆C的方程;求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.21.(本小题满分12分)设函数(为常数).若函数在区间题号13141516答案9(理)2004 (文)解析:16.由,得,两式相除得.三.解答题17.解：因为D=2B,所以.因为,所以,所以ACD的面积.在ACD中,所以.因为,所以 ,得AB=
5、4.18.解：由300.006+100.01+100.054+10x=1，得x=0.018.(理)由题意知道:不低于80分的学生有12人,90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0,1,2;,.012P(文)由题意知道成绩在50,60)的学生有3个,分别设为;成绩在60,70)的学生有5个,分别设为.随机选取两人有, 28种情况.2人成绩都在60,70)的有,10种情况.故概率为.19.解:,面.面,.(理)AC平面,ACDE,要使平面CDE平面,只需DE平面,即需DE,(DEAC,DE平面,由,则,在Rt中,.以DA,DC,分别为x,y,z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,
6、0),O(1,1,0),.,设平面EDC的法向量为,则有,得,得,令,得.又平面CDA的法向量为,设E-CD-A的平面角为,故.(文)由,则,在Rt中,. ,易知,故.21.解：(理)即在1,+)上恒成立,即在区间1,+)上恒成立.在区间1,+)上的最大值为4,.(文)当时,单调递增.在区间(1,+)上有两个不相等的实数根,即方程在区间(1,+)上有两个不相等的实数根.记,则有,解得.,.令,只须证. ,(观察,猜测) 令,下证 ,令,得,.列表得:-0+极小,所以,所以,所以在上单调递减,所以,故,故.20.解：由题意,可得,代入得,又,解得,所以椭圆C的方程.证明:设直线BD的方程为,又A,B,D三点不重合,设,则由得,所以,所以.,设直线AB,AD的斜率分别为,则;所以,即直线AB,AD的斜率之和为定值.22.由得,得直角坐标方程为,即;将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,化简得,点E对应的参数,设点A,B对应的参数分别为,则,所以,23.解:解不等式:,或或,得或或,得,即.需证明:,只需证明,即需证明.证明:,故,所以,所以原不等式成立.
