1、3.1.3组合与组合数第1课时组合与组合数学 习 任 务核 心 素 养1理解组合与组合数的概念(重点)2会推导组合数公式，并会应用公式求值(重点)3理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明(难点、易混点)1通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养2借助组合数公式及组合数的性质进行运算，培养数学运算的素养高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生任选3科作为自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有几种？提示这几个问题都与顺序无关，学完本节内容便能顺利求解知识点1组合的概念一般
2、地，从n个不同对象中取出m(mn)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合提醒：(1)所谓并成一组是指与顺序无关，例如组合a，b与组合b，a是同一组合，可以把一个组合看成一个集合(2)组合概念的两个要点：n个对象是不同的；“只取不排”，即取出的m个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关，无序性是组合的特征性质(3)如果两个组合中的对象完全相同，那么不管对象的顺序如何，它们都是相同的组合如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)，那么它们就是不同的组合拓展：排列与组合的异同排列组合相同点从n个不同对象中取出m(mn)个对象不同点按照一定的顺序排成一列不管顺序地并成一
3、组1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法()答案(1)(2)(3)(4)知识点2组合数的概念、公式定义从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数表示C(n，mN且mn)组合数公式乘积式C阶乘式C“组合”与“组合数”是同一个概念吗？提示同“排列”与“排列数”是两个
4、不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出2个对象的所有组合为ab，ac，bc，共3种，其中每一种情况都是一个组合，而组合数是3拓展：(1)组合数公式C的形式特点：分子是m个数相乘，且第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是nm1；分母是m的阶乘(2)组合数公式C体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到(3)组合数公式C的主要作用有：用于计算m，n较大时的组合数；对含有字母的组合数的式子进行变形和证明2C_，C_15318C153，C183从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等
5、的积的个数为_6从四个数中任取两个数的取法为C6 类型1组合的概念【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？思路点拨要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关解(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区
6、别(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别1根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合2区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题1(对接教材P22练习AT2)从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合解要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法
7、将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de 类型2组合数公式的应用【例2】(1)式子可表示为()AA BCC101C D101C(2)求值：CC思路点拨根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明(1)D分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n100，最小的为n，故101101C(2)解由组合数定义知：所以4n5，又因为nN，所以n4或5当n4时，CCCC5；当n5时，CCCC16关于组合数计算公式的选取1涉及具体数字的可以直接用公式C计算2涉及字母的可以用阶乘式C计算2(1)计算：CCA；(2)
8、求证：CC解(1)CCA7652102100(2)证明：右边C左边即等式成立 类型3简单的组合问题解答简单组合问题的关键是什么？提示关键是把实际问题模型化，在此基础上选择组合数公式求解.【例3】现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45(种)(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出
9、的2名是女教师有C种方法根据分类加法计数原理，共有CC15621种不同选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法CC15690(种)(变结论)本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0女有C种由分类加法计数原理知有CCC39种最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有C种由分类加法计数原理知有CCC30种解简单的组合应用题的策略1解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排
10、列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关2要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏3我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成_种重卦(用数字作答)15由题设知，“重卦”的种数为C151下列四个问题属于组合问题的是()A从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式D从全班同学中
11、选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员CA、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题2若A12C，则n等于()A8 B5或6 C3或4 D4AAn(n1)(n2)，Cn(n1)，所以n(n1)(n2)12n(n1)由nN，且n3，解得n83从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为()ACCC BCCACCCC DCC(CCCC)C任选4人的方法数为C，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数CC，故选法总数应为CCC4从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_种不同的选法84由题意可知共有C84种56个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手_次15每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C15次回顾本节内容，自我完成以下问题：试比较排列与组合的区别与联系提示名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复名称排列组合不同点1排列与顺序有关；2两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同1组合与顺序无关；2两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同联系ACA
