1、20212022学年高三年级期末试卷数学(满分:150分考试时间:120分钟)20221一、 单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合Ax|x23x20,Bx|ln x20,则AB()A. B. 1 C. 2 D. 1,22. 已知a,b是平面内两个向量,且a0,则“b0”是“|a|ab|”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 函数f(x)sin 2xtan x的最小正周期是()A. B. C. D. 24. 已知随机变量XB(6,p),YN(,2),且P(Y2),E
2、(X)E(Y),则p()A. B. C. D. 5. 已知点A(,2),B(1,3)是圆C:x2y210上两点,动点P从A出发,沿着圆周按逆时针方向走到B,其路径长度的最小值为()A. B. C. D. 6. 已知(1x)2 021a0a1xa2 021x2 021,则系数a0,a1,a2 021中最小的是()A. a0 B. a1 010 C. a1 011 D. a2 0217. 小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电,在购买一个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款),月利率为r.按复利计
3、算,则小李每个月应还()A. 元 B. 元C. 元 D. 元8. 已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称,且当x0时,f(x)sin xf(x)cos x0,则下列说法正确的是()A. f()f()f() B. f()f()f()C. f()f()f() D. f()f()f()二、 多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数为()A. AA B. AAC. A(A)2
4、D. CAC(A)210. 已知数列an中,a12,an1,使an的n可以是()A. 2 019 B. 2 021 C. 2 022 D. 2 02311. 已知函数f(x)ln (x)sin xcos x,下列说法正确的有()A. 函数f(x)是周期函数 B. 函数f(x)有唯一零点C. 函数f(x)有无数个极值点 D. 函数f(x)在(,)上不是单调函数12. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3a,点M是棱BC上的定点,且BM2CM.点P是棱C1D1上的动点,则下列说法正确的是()A. 当PC1a时,PAM是直角三角形B. 四棱锥A1PAM的体积最小值为a3C. 存在点P,使得直
5、线BD1平面PAMD. 对任意点P,都有直线BB1平面PAM三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知复数z满足等式0,i是虚数单位,则z的模|z|_14. 已知为第四象限角,且tan (),则sin _15. 已知定义域都是R的两个不同的函数f(x),g(x)满足f(x)g(x),且g(x)f(x).写出一个符合条件的函数f(x)的解析式:f(x)_16. 已知抛物线C1:y22px的焦点与双曲线C2:y21(a0)的右焦点F重合,抛物线C1的准线与双曲线C2的渐近线交于点A,B.若FAB是直角三角形,则p_,双曲线C2的离心率e_四、 解答题:本题共6小题,共70分解答时
6、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计资料:x/年23456y/万年2.03.56.06.57.0参考公式和数据:在线性回归方程yabx中,b,aybx,其中x,y为样本平均值(1) 求x,y的线性回归方程;(2) 某厂该型号的一台机床已经使用了8年,现决定当维护费达到15万元时,更换机床,请估计到第11年结束,是否需要更换机床?18. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn(nN*).(1) 求数列an的通项公式an;(2) 求数列的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)已知在四边形ABCD中,AB7,B
7、C13,CDAD,且cos B,BAD2BCD.(1) 求BCA;(2) 求AD.20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥BPACQ中,BC平面PAB,且在四边形PACQ中,PQAC,PAC,二面角BAPQ的大小为,且APABPQ1.(1) 求证:平面PACQ平面ABC;(2) 求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)axxa(x0),其中a1.(1) 若曲线yf(x)在x1处的切线平行于x轴,求a的值;(2) 当ae(e为自然对数的底数)时,求函数f(x)的零点个数,并说明理由22. (本小题满分12分)已知椭圆C:1(ab0)的左焦点坐标为F(2,
8、0),离心率e.点A是椭圆上位于x轴上方的一点,点B(1,0),直线AF,AB分别交椭圆于异于A的点M,N.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 若直线MN平行于x轴,求点A的横坐标20212022学年高三年级期末试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. D2. A3. B4. B5. C6. C7. A8. D9. ACD10. AD11. CD12. AB13. 14. 15. ex(答案不唯一)16. 17. 解:(1) x4,y5.0,x223242526290,xiyi22.033.546.056.567.0113.0.(4分)b1.3,aybx5.01.340.2,所以x,y的线性回归
9、方程是y1.3x0.2.(7分)(2) 当x11时,y1.3110.214.115,所以,估计到第11年底,不需要更换机床(10分)18. 解:(1) 当n1时,a1S13;当n2时,anSnSn1n1.所以an(5分)(2) 当n2时,(7分)Tn()().(10分)当n1时,T1也符合综上可得,Tn.(12分)19. 解:(1) 在ABC中,AB7,BC13,cos B,由余弦定理,得AC8,所以cosBCA.(3分)因为ABC中,0BCA,所以BCA.(5分)(2) 因为CDAD,所以ACDCAD.设ACDCAD,因为BAD2BCD,所以BAC2(BCA),则BAC2BCA(BBCA)2
10、BCAB.(7分)在ACD中,由正弦定理,得,所以AD.因为cos B,且0B,所以cos cos (B)sin B,所以AD7.(12分)20. (1) 证明:因为BC平面PAB,PA,AB平面PAB,所以ABBC,PABC.因为PAC,所以PAAC.又BCACC,BC,AC平面ABC,所以PA平面ABC.因为PA平面PACQ,所以平面PACQ平面ABC.(5分)(2) 解:由(1)知,PA平面ABC,从而PAAB,PAAC,所以BAC为二面角BAPQ的平面角,因为二面角BAPQ的大小为,所以BAC.(7分)(解法1)如图在ABC中,过点B作AC的垂线BD,垂足为D,连DQ.因为平面PACQ
11、平面ABC,平面PACQ平面ABCAC,BDAC,BD平面ABC,所以BD平面PACQ,所以BDQD,且直线BQ与平面PACQ所成角的平面角为BQD.在ABC中,ABBC,BAC,AB1,BD为边AC上的高,所以BD,AD.在梯形PADQ中,PQAD,PAC,APPQ1,AD,所以QD.在BQD中,sinBQD,所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)图图(解法2)在平面ABC内,过点A作AC的垂线AD,以,为正交基底建立如图,所示的空间直角坐标系Axyz,则点B(,0),Q(0,1,1),从而(,1).因为平面PACQ的一个法向量为n(1,0,0),设直线BQ与平面PACQ所成
12、的角为,则sin |cos ,n|,所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)21. 解:(1) f(x)axxa,f(x)ax ln aaxa1,因为曲线yf(x)在x1处的切线平行于x轴,所以f(1)a ln aa0,解得ae.(3分)(2) 当x0时,axxa00,令h(x),h(a)0.(4分)h(x),令h(x)0,得xe.列表如下:x(0,e)e(e,)g(x)0g(x)增极大值减当xe时,h(x)的极大值为h(e).(7分) 当ae时,函数h(x)有且只有1个零点ae.此时,函数f(x)有且只有1个零点(8分) 当ae时,函数h(x)在(e,)内有且只有1个零点a,且
13、h(e)h(a)0;因为0e,h()a ln a0,又函数h(x)在区间(0,e)上单调递增,且函数h(x)的图象在区间(0,e)上是连续不间断的曲线,所以h(x)在区间(0,e)内有且只有1个零点此时,函数f(x)有且只有2个零点(11分)综上可得,当ae时,函数f(x)有且只有1个零点;当ae时,函数h(x)有且只有2个零点(12分)22. 解:(1) 因为椭圆C:1(ab0)的左焦点坐标为F(2,0),离心率e,所以c2,所以a4,所以b2a2c2422212,所以椭圆C的标准方程为1.(3分)(2) 设A(x0,y0),y00, 若直线AF的斜率不存在,则x02,所以y03,且M(2,3),因为直线MN平行于x轴,由椭圆对称性可得N(2,3),此时kAB1,kNB3,不符合题意,舍去;(4分) 若直线AF的斜率存在,此时kAF,直线AF的方程为y(x2),联立直线AF的方程与椭圆C的方程,有所以3x2(x2)2480,则3x2480,所以xM,yM(2).(8分)因为直线MN平行于x轴,由椭圆对称性可得N(,),(9分)又点N在直线AB上,所以,即.因为y00,所以,解得x0,所以点A的横坐标为.(12分)